Categorie: Matematica
Tags: area luogo dei punti quiz russo rette intersecanti
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:17
Problemi "killer". 2: un luogo di punti nel piano*
Il problema richiede la determinazione di un luogo di punti nel piano aventi una certa caratteristica rispetto a due rette intersecanti. Inoltre, vuole anche il valore dell’area racchiusa all’interno del luogo dei punti.
In poche parole, si traccino due rette che abbiano un punto in comune P e si stabilisca una certa costante c numerica. Si chiede di disegnare, senza effettuare nessun calcolo, il luogo dei punti del piano tali da avere la somma delle distanze dalle due rette uguale alla costante c (si può costruire con riga e compasso). Chiamando a l’angolo minore tra le due rette, descrivere, in funzione dell’angolo a, come varia l’area racchiusa all’interno del luogo dei punti, a parità di costante c.
Questo è probabilmente il più facile tra i problemi proposti e il risultato è -forse- un po' inatteso, ma risolvibile da chiunque… Un minimo di attenzione nel calcolo dell’area.
Sarebbe bello che i più abili aspettino un poco a rispondere per lasciare tempo ai meno esperti, ma capaci di ragionare con un po’ di fantasia, di superare questo primo quiz. Grazie!
17 commenti
Come temevo... Parlino pure i più esperti (ma non era difficile). Potremmo fare così: i più bravi diano solo la risposta alla seconda domanda senza spiegare il perché. Questo potrebbe dare un aiuto per tutti! Ricordate che sono necessarie solo le nozioni di geometria più elementari e conosciute!
Caro Enzo se non ho frainteso la domanda l'area racchiusa all'interno del luogo dei punti aumenta con il diminuire dell'angolo a e diminuisce con l'aumentare dell'angolo a.
Paolo
bravo Paolino! E' proprio così...Penso che tu abbia anche individuato il luogo dei punti . Abbastanza inaspettato, vero?
Spero di aver trovato
l'area racchiusa nei luogo dei punti del piano, che assomiglia proprio a quella di un triangolo.
Qualcosa di più, direi...
vedo che sono tutti in probabile difficoltà, puoi rispondere anche alla prima, spiegando il perché.
S = c^2/(4*tan(a/2)
gradirei spiegazioni e risposte precise...
Ero rimasto alla richiesta del solo suggerimento
caro Sprmnt21
Oramai Paolino aveva già dato la risposta sul solo suggerimento. Potete dare la risposta completa. Ma la tua area...
Caro Enzo tutto dipende se ho davvero capito cosa sia la costante c (somma delle distanze tra le due rette).
Io sono partito da un segmento qualunque che unisce le due rette.
Prendo in considerazione la parte superiore formando così un triangolo con il segmento che unisce le rette come base e l'angolo a come vertice.
A parità di base più diminuisce l'angolo a più aumenta l'altezza del triangolo e viceversa.
Dato che l'area di un triangolo è dato da (base x altezza)/2 ne segue che diminuendo l'angolo a aumenta l'area.
Ora la parte inferiore è speculare a quella superiore, per cui se il segmento che ho usato per base del triangolo è la 1/2 di C, il discorso è riproducibile di pari passo per l'identico angolo opposto ad a e il triangolo speculare inferiore con base 1/2 c.
Spero di non aver dato la risposta giusta, partendo da un equivoco sul significato della costante c.
caro Paolino,
attenzione! Cosa s'intende per distanza di un punto da una retta? Essa è il segmento PERPENDICOLARE tracciato dal punto alla retta. Se fosse solo un qualsiasi segmento che unisce retta e punto vi sarebbero infinite possibili distanze. Si considera come distanza il minimo segmento tra punto e retta che risulta proprio essere la perpendicolare.
Lo dice anche wikipedia...
La distanza di un punto da una retta si misura lungo la distanza minima che è possibile individuare, ovvero lungo il segmento che parte dal punto e interseca ortogonalmente la retta.
E, quindi, quale sarebbe il luogo dei punti? Non vorrei che anche SPRMNT21 avesse frainteso...
Siano AB e BC le rette che racchiudono l’angolo a.
Sia D sulla perpendicolare per C a BC tale che CD=c.
La parallela per D a BC taglia AC in A’.
Se C’ su AC è tale che BC’ = BA’ allora il segmento A’C’ è il luogo cercato.
Infatti se P è un punto su A’C’ e Q ed R le sue proiezioni ortogonali
su AB e BC rispettivamente e H è la proiezione di A su BC, si ha che PQ + PR = A’H = c.
Per provare quest’ultima relazione si consideri la proiezione P’ di P su AH.
I due triangoli rettangoli A’PP’ e PA’Q sono congruenti avendo un lato il comune e i due angoli adiacenti uguali. Infatti, per costruzione <C’A’B = <A’C’B; <A’PP’ = <A’C’B, quindi <APP’ = <PA’Q.
In particolare PQ = A’P’. Questo insieme al fatto che PR = P’H, prova la tesi.
PS
Più generalmente, intendendo come somma dei segmenti PQ e PR una somma algebrica di segmenti orientati, il luogo geometrico è TUTTA la retta A’C’
caro Sprmnt21,
la tua risposta sembrerebbe dire che il luogo dei punti è tutta la retta A'C'. Il che comporterebbe che non esisterebbe l'area compresa nel luogo dei punti. Considerando che la lunghezza di un segmento è considerato generalmente una quantità positiva, si conclude che il luogo dei punti è un rettangolo. Tutto qui... Si prova che A'C' è un lato del luogo dei punti, molto semplicemente prendendo un punto qualsiasi P su A'C' e tracciando il segmento PB. Il triangolo A'C'B viene diviso in due triangoli che hanno un lato congruente A'B = BC' e la stessa altezza. La somma delle loro aree è l'area di A'C'B. Ma questi due triangoli hanno anche le loro aree uguali al lato A'B = BC' e come altezza le due proiezioni PQ e PR. Ne segue che la somma di queste due deve sempre essere la costante c.
Non capisco, poi, come hai calcolato l'area. Anzi, che cosa hai calcolato come area del luogo dei punti...
Il rettangolo che viene determinato come luogo dei punti ha un'area che è pari a 4 volte l'area del triangolo A'C'B. Ma io l'ho determinata calcolando i lati del rettangolo.
Chiarisci meglio il tuo procedimento. Grazie...
Aggiungo una figura per chiarire meglio la dimostrazione precedente
La soluzione che ho trovato è questa.
Quello che non mi torna(va) nell'esposizione del problema è la questione della superficie definita dal luogo geometrico. In ogni caso l'avevo intesa come l'area racchiusa dall'angolo a e dalla retta A'C'. Quindi l'area del triangolo A'C'B, che è un triangolo isoscele di base c e angolo al vertice a.
Se anziché del luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze dalle rette dell'angolo a sia UGUALE a c si cerca il luogo dei punti per cui la somma delle distanze dalle rette dell'angolo a sia MINORE OD UGUALE a c allora si cerca la superficie del rettangolo (l'ho capito ora. Prima mi mancavano 3 lati
) A'C'FG