Sicuramente il più facile fra tutti, ma -comunque- capace di creare un po' d'imbarazzo soprattutto se richiesto a un esame orale di ammissione. Risolviamo subito il dubbio di Sprmnt21 riguardo alla superficie racchiusa in un un certo luogo di punti aventi una caratteristica ben definita. Se vi dicessi di determinare il luogo dei punti aventi distanza costante da un punto O non avreste dubbi a pensare alla circonferenza e alla superficie racchiusa al suo interno, ossia al cerchio. Nel nostro caso la faccenda è del tutto analoga: si definisce un luogo di punti aventi la somma delle distanza da due rette intersecantesi, che risulta essere il contorno di un rettangolo, e si chiede di stabilire l'area da esso racchiusa, ossia l'area del rettangolo.

Parlo proprio di rettangolo e non di parallelogramma generico. Tracciamo le nostre due rette che si intersecano in O. Facciamo la costruzione "alla greca", ossia con riga non graduata e compasso "molle", ricordando che è possibile eseguire, in tal modo, anche il trasporto di un segmento in qualsiasi posizione si voglia (QUI).

Disegniamo, in Fig. 1, le nostre due rette che si intersecano in O. Da un punto P di una delle due rette, abbastanza lontano da O, si tracci la perpendicolare alla retta e su di essa si riporti il segmento di  lunghezza c. che ha come estremo Q. Da Q si tracci la parallela alla prima retta fino a incontrare la seconda retta in A. Con centro in O si tracci la circonferenza di raggio OA, che incontra l'altra retta in B.

Il triangolo AOB è ovviamente isoscele e OH è la bisettrice dell'angolo a tra le due rette di partenza e anche l'altezza del triangolo rispetto alla base AB. Consideriamo Un punto R  qualsiasi lungo il segmento AB. Congiungiamo il punto R con O, in modo da dividere il triangolo AOB nei due triangoli ARO e BRO. Essi hanno la stessa altezza  OH per cui la somma delle loro aree è uguale all'area di AOB.

Possiamo, però, anche scrivere:

S(ARO) + S(BRO) = 1/2 OA · RL + 1/2 OB · RK

Ma sappiamo che OA = OB, per cui

S(ARO) + S(BRO) = 1/2 OB(RL + RK) = 1/2 OB · AT

e, quindi:

RL + RK = c

Tutti i punti del segmento AB soddisfano la richiesta di avere la somma delle loro distanze dalle due rette costante e uguale al segmento c.

Possiamo ripetere la stessa operazione per il triangolo BOC che ha la stessa area di AOB e trovare che tutti i punti di BC hanno la somma delle loro distanza dalle due rette uguale a c.

Il luogo dei punti richiesto è proprio il rettangolo ABCD.

E' anche facile calcolarne l'area in funzione di c e dell'angolo a. Basta considerare i triangoli ABT e ATD. Dal primo abbiamo che AB = c/cos(a/2), dal secondo AD = c/sin(a/2). Per cui:

S(ABCD) = AB · AD = c²/(sin(a/2)cos(a/2))

E' interessante notare che  il confronto tra questo risultato e quello di Fabry (2c²/sin(a)) porta immediatamente alla formula di duplicazione:

sin(a) = 2 sin(a/2)cos(a/2)

Per finire, vediamo, in Fig. 2, l'andamento della funzione

y = c²/sin(a/2)cos(a/2) = 2c²/sin(a)

che raggiunge il suo minimo proprio per a = π/2 (rette perpendicolari tra loro) e tende a infinito per  a che tende a zero. Nel grafico abbiamo posto c = 1.

Devo dire che questo esercizio non era particolarmente "cattivo", ma piuttosto interessante per valutare le capacità di ragionamento e di fantasia del candidato, basandosi su elementi di geometria estremamente semplici. Vedremo che gli altri saranno ben più maligni...