Categorie: Matematica
Tags: geometria quiz relazione tra angoli e lati triangolo qualsiasi
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
Problemi "killer". 3(con SOLUZIONE): Un legame molto vincolante tra lati e angoli di un triangolo *
Un altro problema abbastanza facile, che richiede nuovamente un po’ di astuzia e il giusto utilizzo di un banale, ma poco comune, principio di geometria elementare.
Sia ABC un triangolo qualsiasi. Chiamiamo A, B e C i tre angoli e a, b e c i lati a loro opposti.
Si chiede di dimostrare la seguente diseguaglianza:
60° ≤ (Aa + Bb + Cc)/(a + b + c) ≤ 90°
SOLUZIONE:
Il punto chiave è quello di scrivere 60 e 90, come (A + B + C)/3 e 90 come (A + B + C)/2, poi il tutto diventa li semp0lici passaggi algebrici come scritto perfettamente da Spr,nt21 nel suo ultimo commento. Al limite, potete provare a dimostrare perché ad angolo maggiore corrisponde lato maggiore...
7 commenti
una mezza idea
un'idea piena
l'idea è quella giusta, ma si può fare senza bisogno di introdurre nuove variabili... Basta moltiplicare e semplificare le espressioni ottenute. Troppo facile per te. La prossima volta aumentiamo gli asterischi.
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2025/11/russo3ter.pdf
molto bene...
Questa credo si anche più "pulita" e diretta
Pertanto le diseguaglianze da provare si possono riscrivere come
(A + B + C)/3 ≤ (Aa + Bb + Cc)/a + b + c (1)
e
(Aa + Bb + Cc)/(a + b + c) ≤ (A + B + C)/2 (2)
Per una nota proprietà dei triangoli, si ha che a lato maggiore corrisponde
angolo maggiore (*).
Una seconda notevole e nota proprietà dei triangoli è il fatto che la somma
di due lati qualsiasi non è minore del terzo lato(**) e con questo termina la
parte geometrica del problema.
La (1), con alcune semplici trasformazioni, si può scrivere nel modo seguente:
2Aa + 2Bb + 2Cc ≥ A(b + c) + B(a + c) + C(a + b) (3)
Spostando tutti gli elementi al primo membro e raggruppando opportunamente
si ottiene la seguente equivalente forma
(A − B)(a − b) + (A − C)(a − c) + (B − C)(b − c) ≥ 0 (4)
1
che è evidentemente soddisfatta, per il fatto (*) ogni coppi di fattori ha
uguale segno o entrambi positivi o entrambi negativi.
Per la (2) bisogna provare che
aA + bB + cC ≤ A(b + c) + B(a + c) + C(a + b) (5)
Questa è equivalente alla seguente A(b+c−a)+B(a+c−b)+C(a+b−c) ≥ 0
evidentemente vera, per il fatto (**) per cui la differenza tra la somma di due
lati e il terzo è non negativa.
perfetto Sprmnt21, è esattamente quella che avrei riportato io! E' inutile che scriva l'articolo soluzione... chi vuole conoscere la soluzione più rapida vada direttamente sull'ultimo commento di Sprmnt21