Non spaventatevi… utilizzeremo l’equazione di Schreodenger e la sua funzione, che indicheremo nel testo soltanto come ES e come FS, per risolvere praticamente un caso estremamente semplificato, ma comunque molto interessante per i risultati che ci darà. Per rendere l’articolo accessibile a tutti coloro che abbiano un minimo di conoscenza della MQ(Meccanica Quantistica), eviteremo alcuni passaggi algebrici (integrazioni e cose del genere), dando per buono il risultato ma spiegando bene lo scopo. Faremo anche una breve introduzione che riassuma le tre interpretazioni principali della MQ.

Introduzione

Prima di iniziare questo viaggio, guidati dalla meravigliosa ES, penso sia utile fare un breve riassunto delle tre principali interpretazioni della MQ, con i loro pregi e i loro difetti. In ognuna di queste visioni, però, l’ES risulta fondamentale, permettendo una perfetta riproduzione di quello che accade nel microcosmo.

Vedremo che la faccenda non è ancora definita completamente e che molte misteriose proprietà non sono comprese del tutto. Parleremo di ipotesi, quindi, del tutto azzardate e da confermare, al pari della materia oscura? Assolutamente no! Le ipotesi, anche le più assurde, per assumere un valore realmente credibile hanno bisogno di osservazioni ed esperimenti che le verifichino (basti pensare alla RG di Einstein). E questo capita per tutto ciò che prevede la MQ. Molti “come” sono stati risolti, mentre rimangono  ignoti i “perché”, ma questo è un fatto costante per tutta la realtà dell’Universo: possiamo sapere esattamente come si formano ed evolvono le stelle, ma certo non possiamo sapere il perché, a meno di non cadere nella pura filosofia.

Il problema di molte ipotesi odierne, tra cui - mi permetto di ripeterlo - il Riscaldamento Globale antropico o la materia oscura si basano su illazioni, prive di riscontri univoci, che sono “verificate” soltanto attraverso simulazioni date in pasto ai computer, preziosissimi collaboratori, ma completamente ignoranti dal punto di vista intellettuale. Esse rispondono sulla base dei dati che gli vengono offerti e che, quindi, se questi non sono conosciuti perfettamente, portano a risultati spesso discordanti e -purtroppo- tali da giungere alle risposte già decise a priori per motivazioni che con la vera Scienza hanno ben poco da spartire. Quando, poi,  i dati sono liberi di essere manipolati a piacere si può ottenere tutto ciò che si vuole.

La MQ, invece, si affida a ipotesi ben lontane da visioni classiche, ma che sono  state confermate da esperimenti e osservazioni dirette, a tal punto da essere  ormai utilizzate in tutta la tecnologia moderna.

Le tre interpretazioni

Abbiamo già presentato e discusso dell’equazione di Schroedinger (QUI e QUI), ricordando come essa sia nata a seguito della visione di De Broglie sulla natura ondulatoria di tutta quanta la materia. Schroedinger accetta questa interpretazione e decide di calcolare la funzione d’onda, ossia quel qualcosa che permetta di descrivere lo stato di una certa particella. Trattando la particella come onda riesce a descrivere sia la sua “posizione”, sia la sua evoluzione temporale, ma la particella deve necessariamente  collassare a vera e propria particella nel momento in cui viene osservata o, quantomeno, “scoperta”.  Questo collasso permette all’onda di presentarsi sotto forma di pacchetto d’onda estremamente concentrato. Il collasso, però, deve essere necessariamente istantaneo e ciò è incompatibile con la teoria della relatività che impone una velocità massima finita, ossia quella della luce.  

Born interpreta, invece, le particelle come veri corpuscoli, dove la FS va interpretata come onda matematica capace di prevedere la probabilità della particella di trovarsi in certo punto. Il quadrato della funzione d’onda risulta essere proprio la probabilità. Il suo maggiore problema riguarda l’indeterminazione che non sarebbe un fattore insito nella natura della particella, ma deriverebbe solo dall’incapacità di determinarne posizione e velocità. Inoltre, se la FS fosse solo una artificio matematico, come si potrebbero spiegare i fenomeni ondulatori REALI che sono sicuramente imputabili a un comportamento fisico ondulatorio e non certo una descrizione puramente matematica?

Bohr e Heisenberg cercano di unificare entrambe le visioni.

La particella non possiede né posizione né quantità di moto. E’ in una situazione completamente indeterminata. Essa diventa particella o onda reale solo nel momento in cui si sceglie come trattarla e misurarla. La materia è in uno stato indefinito per cui non vi è possibilità di definire nello stesso istante sia la sua posizione (entità tipica di una particella materiale) che la quantità di moto (o velocità), legata al suo stato di onda. Se voglio misurare la sua posizione, decido di trattarla come particella e la FS mi permette di  stabilire quale sia la probabilità di trovarla in un certo punto.  Nel caso della doppia fenditura, se decido si trattare la particella come corpuscolo, cerco di misurare il suo passaggio in una fenditura. Questo sistema di misura ha scelto che la particella si comporti in tal modo. Se, invece voglio misurare le sue capacità ondulatorie (interferenza e diffrazione) misuro ciò che mi risponde lo schermo finale, dato che devo permettere al comportamento ondulatorio di manifestarsi .

La particella, perciò, è in uno stato indefinito, né una cosa né l’altra, ma tutte e due contemporaneamente. E’ la scelta di come trattarla che fa sì di vedere il suo comportamento conforme a una delle due facce. Se lancio una moneta in alto, la moneta, mentre cade, esiste sia come testa che come croce. Quando è caduta, però, o è testa o è croce e quindi viene trattata in modo complementare all’altro caso. Solo a quel punto posso chiedere al tennista che campo scegliere. Non posso certo farlo mentre la moneta è in aria. Se esce croce decide Sinner, se esce testa decide Alcaraz. Potrei anche dire che si è scelto l’Universo di Sinner o quello di Alcaraz (ma non entriamo nel multiverso, per adesso…).

Questa indeterminazione tipica del microcosmo non può permettere uno studio deterministico. Posso solo stabilire una certa probabilità: se voglio conoscere la posizione, NON posso certo pretendere di conoscere anche la velocità. Non esiste un vero collasso, ma una sua interpretazione scelta “a priori”.

Attenzione 1: l’osservazione o la misura non vogliono dire “disturbo”, ma decisione di studiarle o come particelle o come onde. A seconda di questa scelta (o dello strumento che si usa), la particella del microcosmo si comporta di conseguenza.

Attenzione 2: questa situazione non è assolutamente legata alla scelta eseguita da una mente pensante. E’ il modo con cui si esegue la misura che decide sotto quale faccia vederla. Se eseguo la misura, anche non coscientemente, in un certo modo vedo la pallina, se eseguo la misura in un altro modo vedo un’onda. Io posso scegliere lo strumento da utilizzare, ma ciò che conta è il modo con cui viene osservata. Permettetemi un esempio semplicissimo: io sono presbite … se voglio leggere un libro (vedere bene la posizione delle lettere) metto gli occhiali. Se  voglio vedere il volo di un aereo in lontananza (mettere in risalto la sua velocità) me li tolgo.

Attenzione 3: questo non vuol dire che il problema degli n-corpi, in cui il futuro è del tutto incalcolabile analiticamente, sia UN PROBLEMA DI TIPO QUANTISTICO. In realtà, nel problema degli n-corpi la posizione e la velocità sono sempre misurabili perfettamente, ma subentra l’incapacità di gestire le variazioni infinitesimali e l’effetto che esse avranno nel tempo. Nel caso dell’elettrone esiste, invece, un’incapacità insita nella sua stessa essenza che non permette di dire se è pallina o onda e, se viene trattata come pallina, non posso avere una valutazione esatta della sua velocità, mentre, se la tratto come onda, devo rinunziare alla sua posizione.

In ogni modo, però, la FS può venire applicata ad ogni interpretazione e permettere di descrivere la probabilità che la particella-onda ha di trovarsi in una certa posizione. Resta perciò indubbia la sua fondamentale importanza, sia che si segua l’interpretazione di Schroedinger, di Born o quella della scuola di Copenaghen (Borh ed Heisenberg).

E’ interessante ricordare un sondaggio condotto nel luglio del 1999 durante un congresso sulla fisica quantistica tenuto all’Università di Cambridge, in cui è stato chiesto agli scienziati riuniti in quale interpretazione si riconoscevano. Su novanta fisici, solo quattro indicarono l’interpretazione di Copenaghen, trenta per l’interpretazione moderna a molti mondi di Everett, mentre la maggioranza (cinquanta scienziati) risposero “nessuna delle risposte elencate” o “molta indecisione”. Esistono, perciò, ancora oggi grandi differenze di pensiero, ma ciò non toglie niente alla validità della MQ, in quanto il comportamento del microcosmo è ormai perfettamente stabilito, anche se con diverse modalità sul come ottenerlo. Resta comunque un fatto inoppugnabile: in tutte le visioni della MQ la FS è uno strumento assolutamente perfetto per descrivere lo stato quantico delle “particelle” del microcosmo.

Cosa dire ancora? Sintetizziamo in modo estremo … Oggi sappiamo cosa fanno le particelle del microcosmo e sfruttiamo le loro assurde, ma indubbie capacità; abbiamo anche ben definite nozioni sul come lo facciano, anche se ognuna ha dei limiti ancora irrisolti; non possiamo certo dire perché lo fanno. I perché non sono un problema della fisica! Un punto essenziale rimane ancora il sapere fino a che punto si spingano realmente le proprietà del microcosmo… particelle all’inizio, poi interi atomi e oggi anche molecole. Si potrà unire la fisica del micro con quella del macro? Il sogno di tanti (speriamo che lo sia ancora) è proprio questo, ossia far convivere la RG con la MQ. Einstein forse aveva già qualche idea non espressa. Purtroppo dovremo aspettare un altro genio come lui o come quelli della celeberrima foto del Congresso Solvey del 1927 (?). Di certo non potrà mai bastare l’aiuto di una macchina senza fantasia, senza creatività e senza un pizzico di pura ingenuità. Essa ha una grande memoria, d'accordo, ma sappiamo che la fisica non si può imparare a ... memoria!

Un elettrone in … scatola

Cerchiamo di ricavare la FS in un caso estremamente semplificato che, però, ci fornisca al une risposte capaci di ritrovare fenomeni legati allo stato quantico dell’elettrone all’interno di un atomo. Ripetiamo che abbiamo volutamente saltato i vari passaggi algebrici di livello abbastanza complesso per rimanere legati ai concetti essenziali e poter così seguire la procedura con maggiore scioltezza.

Prendiamo un elettrone e mettiamolo all’interno di una scatola. Una scatola molto speciale, però, al cui interno non agiscono forze, ossia il potenziale è sempre zero. Ne segue che  al di fuori della scatola il potenziale vale infinito, mentre è nullo al suo interno. In altre parole niente lo può disturbare e lui è confinato all’interno della scatola. In parole più tecniche siamo in una buca di potenziale. Semplifichiamo ancora di più la situazione, imponendo che lo spazio rinchiuso nella scatola sia unidimensionale, ossia l’elettrone possa trovarsi solo lungo l’asse lineare x. In poche parole, all’elettrone è permesso di assumere solo le posizioni tra i due estremi, come illustra la Fig. 1.

Ovviamente, nel macrocosmo questa situazione comporterebbe una posizione stabile all’interno della scatola.

Il problema risulta già così abbastanza complesso, ma può ancora essere semplificato. Non arricciate il naso, anche se estremamente semplificato ne vedremo delle belle…

Ricapitoliamo: l’elettrone può esistere solo tra il punto x = 0 e x = D. Da lì non può uscire.

A questo punto dobbiamo pensare all’elettrone come a qualcosa che non è ne particella né onda, ma a un "qualcosa" le cui proprietà sono espresse da una funzione che è proprio quella di S. Come detto prima, eseguiamo una ulteriore semplificazione e trascuriamo la variazione rispetto al tempo, ossia non siamo interessati alla sua evoluzione nel tempo. D’altra parte le nostre ipotesi la vedono proprio in una situazione stazionaria: ciò che capita ora, capita anche in futuro. Se tornassimo all’esempio della meccanica classica avremmo la nostra pallina ferma in una certa posizione. Vediamo invece  come si comporta un’entità come l’elettrone che è soggetto alla FS.

Semplificando l’equazione d’onda (ES) secondo i nostri vincoli, essa può essere scritta nel modo seguente (tralasciamo i calcoli che permettono la sua trasformazione rispetto a quella che abbiamo ricavato QUI)

-(h²/2m)(∂²Ψ(x)/∂x²)+ V(x)Ψ(x) = EΨ(x)

Dove Ψ(x) è la FS, h la costante “tagliata” di Planck, m la massa dell’elettrone, V(x) il potenziale ed E l’energia totale del sistema. Malgrado l’aspetto poco rassicurante, l’equazione illustra un concetto molto comune: l’energia totale del sistema (secondo membro) è uguale alla somma dell’energia cinetica più l’energia potenziale. L’espressione è indipendente dal tempo, come desiderato, ma va ancora semplificata eliminando V(x), ossia il potenziale.

-(h²/2m)(∂²Ψ(x)/∂x²) = EΨ(x)

La sua soluzione porta al valore della funzione (che è solo funzione della posizione e non più del tempo), il cui quadrato descrive la densità di probabilità dell’elettrone, ossia ci dice la sua probabilità di trovarsi in una certa posizione della nostra scatola.

Iniziamo a risolverla…

Prima del punto zero il potenziale è infinito, così come dopo il punto D. All’interno (tra 0 e D) il potenziale è nullo. La funzione Ψ(x) esiste solo tra 0 e D, al di fuori vale 0. Questa ovvietà ci dice proprio che la funzione esiste solo all’interno e quindi l’elettrone deve trovarsi all’interno con probabilità espressa da Ψ(x)² lungo tutto lo spazio x.

L’equazione  contiene una derivata seconda della funzione rispetto allo spazio x. La quale, a parte costanti moltiplicative, uguaglia l’energia totale. Eseguiamo qualche passaggio in modo da alleggerire e capire meglio l’equazione.

Poniamo

k = √(2mE/h²)

E otteniamo:

∂²Ψ(x)/∂x² = - k² Ψ(x)

Un’espressione che ci ricorda molto bene quella del moto armonico semplice

d²x/dt² = - ω² x

Questo tipo di equazione, che origina un moto ondulatorio, ha la caratteristica che la derivata seconda della funzione è uguale alla funzione stessa cambiata di segno. Ma noi conosciamo molto bene due funzioni che mostrano questa caratteristica: il seno e il coseno.

La soluzione finale deve perciò essere del tipo

Ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

Verifichiamo che sia vero

∂Ψ(x)/∂x = A k cos(kx) – B k sin(kx)

∂²Ψ(x)/∂x² = - Ak² sin (kx) – Bk²cos(kx) = - k²(A sin(kx) + B cos(kx)) = - k²Ψ(x)

Questa è la soluzione generale, ma dobbiamo ancora trovare i valori di A e di B.

Per far ciò dobbiamo considerare le condizioni al contorno, ossia Ψ(x) = 0 per x = 0 e x =D

Ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0 + B = 0

Ψ(D) = A sin(kD) + B cos(kD) = A sin(kD) + 0 = 0

Otteniamo perciò che B = 0 e che

A sin(kD) = 0

Quando si annulla quest’ultima espressione? Quando kD = 0  oppure quando kD = nπ (con n = 1, 2, 3, ….)

Con pochi passaggi si ricava il valore di E.

kD = √(2mE/h²) D = nπ

E = n² π² h²/(2mD²)   per n = 1, 2, 3, ...

Ovviamente se n fosse 0 si annullerebbe la E, ma questo non può verificarsi altrimenti andrebbe a zero tutta la funzione Ψ.

Abbiamo già raggiunto una conclusione fondamentale: l’energia non può essere continua, ma vale soltanto per particolari valori, ossia essa è … QUANTIZZATA.

Notiamo che la funzione d’onda ha molte soluzioni ed ognuna corrisponde a un valore diverso dell’energia. Possiamo rappresentare facilmente queste condizioni in Fig. 2.

Commentiamo in modo semplice questo risultato, ricordando gli orbitali occupati dall’elettrone. La quantizzazione dell’energia ci dice che l’elettrone, anche quando è fermo, può occupare qualsiasi posizione, ma esse sono determinate da un certo valore dell’energia.  Ad ogni valore ammesso dell’energia, corrisponde una diversa FS, che permette di calcolare la probabilità di trovarsi in un certo punto della scatola.

La probabilità sarà quantificata esattamente determinando l’ultima incognita, ossia la costante A, ma la cui forma è già ben visualizzabile.

Ma scopriamo anche altro…

Se aumentassimo la massa, passando a particelle macroscopiche, il valore fondamentale dell’energia (n = 1) tenderebbe a essere sempre più basso. A tal punto che se considerassimo la massa infinita (ipotesi plausibile, vista la differenza gigantesca tra massa delle particelle del microcosmo e quelle del macrocosmo) otterremmo l’energia dello stato fondamentale uguale a zero. Questo risultato è in pieno accordo con la realtà, dato che un corpo macro può stare fermo. Ciò ci ricorda anche che un elettrone, invece, ha sempre energia e, quindi, deve avere una certa velocità (l’energia è solo quella cinetica). Esso è costretto a essere sempre in movimento. e la sua posizione è definita attraverso la probabilità espressa da Ψ(x)².

Inoltre anche D è al denominatore, implicando che più la scatola è piccola e maggiore è l’energia corrispondente, ossia maggiore è la sua quantità di moto che dipende dalla velocità. Beh… abbiamo confermato il principio di Heisenberg! Maggiore è la precisione nella posizione dell’elettrone (scatola sempre più piccola) e sempre più grande è l’imprecisione della sua velocità.

Scriviamo adesso la funzione d’onda ricavata, ossia quella che ci dice dove si trova la particella.

Ψ = A sin(x nπ/D)

Continuiamo a lasciare A come incognita, dato che è costante e non influenza la probabilità dell’elettrone di essere in un punto o in un altro. Ovviamente, in x = 0 e x = D la funzione deve sempre valere zero (il seno vale zero). Ciò che varia è solo n, che possiamo chiamare numero quantico in analogia con quanto fatto per l’atomo. In fondo, cambia solo il fatto  che nell’atomo la particella elettrone subisce anche l’energia potenziale del nucleo. Visualizziamo il risultato in Fig. 3 per i primi quattro valori dell'energia.

Al posto di Ψ, possiamo inserire il suo quadrato per ottenere proprio la probabilità che si trovi nel punto x corrispondente. In tal modo la parte negativa della funzione viene ribaltata dato che è sempre positiva

A seconda dell’energia otteniamo distribuzioni di probabilità diverse, proprio qualcosa di estremamente simile agli orbitali occupati all’interno di un atomo. In realtà non è proprio la stessa cosa, dato che all’interno dell’atomo l’elettrone risente del potenziale elettrico del nucleo, ma l’essenza è la stessa.

Ciò che vediamo, rappresentando la densità di probabilità, è proprio la nuvola elettronica, non influenzata da forze esterne. Nel caso n = 1 (fondamentale) la probabilità per l’elettrone di trovarsi al centro della scatole è molto alta. Condizione che cambia completamente per n = 2 (nuovo livello energetico) dove il centro è una zona in cui è difficile trovare la particella. Comportamenti questi, ovviamente assurdi per la meccanica classica, dove la probabilità di trovare un certo oggetto è inversamente proporzionale alla velocità dell’oggetto: se si muove lentamente è facile trovarlo, se si muove rapidamente, è invece molto difficile. L’elettrone, invece, non subendo forze, non dovrebbe cambiare la velocità e di conseguenza la probabilità di essere in una certa posizione.

Vale, a questo punto, un commento ben più generale… S. ha determinato una funzione che sembra del tutto astratta e ben lontana da ciò che riusciamo a vedere con i nostri occhi. Addirittura sembra dar luogo a comportamenti veramente assurdi. Ma la forza di un’ipotesi, benché fuori dal pensiero comune, è quella di poter essere verificata attraverso un esperimento. E gli esperimenti eseguiti hanno dato pienamente ragione a S., così come è successo per la RG.

Torniamo a noi e vediamo di calcolare la densità di probabilità che l’elettrone ha di trovarsi in una certo intervallo della x. Per far ciò, ossia per avere valori numerici esatti, dobbiamo determinare il valore di A.

Noi non eseguiremo tutti i calcoli, limitandoci ai concetti, dato che avremmo a che fare con integrali non veramente difficili, ma senz’altro noiosi e ripetitivi.

Si può determinare A, imponendo una nuova condizione piuttosto semplice, ossia imponendo che la probabilità totale su tutta la distanza da 0 a D sia del 100%. Questo è un fatto sicuramente vero, dato che la particella deve esistere e non può sparire.

La probabilità che la particella si trovi all’interno di tale intervallo si ottiene attraverso l’integrale della funzione Ψ², operazione comunissima per calcolare l’area che sta sotto a una certa curva.

∫₀^DA² sin²(nπx/D)dx = 1

L'integrale non è in effetti molto difficile, ma possiamo trascurare i passaggi e ottenere che

A = √(2/D)

L’integrale, che rappresenta la probabilità di trovare la particella, per esempio, tra x = 0.4 D e 0.6 D ,  vale il 40% per il livello fondamentale. Mentre per il livello superiore(n = 2) scende a circa il 5%.

La Fig. 4 illustra quanto fatto per i primi due livelli energetici.

Attenzione! Quanto trovato non vuol dire che la particella si trovi in un ben determinato punto dello spazio x, ma è ovunque con una certa probabilità. Solo dopo aver eseguito la misura essa collasserà in un punto specifico!

Questo caso estremamente semplice può essere estrapolato al caso tridimensionale (scatola cubica) e al caso in cui rappresenti un vero e proprio atomo con tanto di potenziale dovuto al nucleo. I calcoli sono decisamente più complicati, ma il risultato è perfettamente in accordo con la realtà sperimentale e non solo quella di una qualche simulazione soggettiva.