Ancora una volta il nostro amico Sprmnt21 è riuscito a risolvere il  problema per via puramente geometrica. Probabilmente, sarebbe difficile riuscire a dare "oralmente" una soluzione di questo tipo, ma sicuramente è di grande eleganza. La sua risposta è stata inserita in questo articolo dopo una soluzione più tradizionale, proprio quella che si aspettavano i "malvagi" professori russi.

La differenza fondamentale tra i due metodi può essere sintetizzata nel fatto che nella versione che riporto io viene prima dedotta un'equazione che leghi l'area del quadrilatero, contenente l'incognita x (la posizione del punto M) ai dati conosciuti del trapezio, con una geometria abbastanza facile. Dopo di che viene eseguita la derivata, annullandola e trovando così il massimo valore dell'area che porta alla determinazione della x che la caratterizza. Sprmnt21, invece, adottando la pura geometria scrive l'area di una particolare configurazione del punto M e poi dimostra, sempre geometricamente, che questa è proprio l'area massima.

La seconda soluzione è sicuramente migliore, anche se più difficile da eseguire. Penso che il confronto che riportiamo sia molto utile interessante per gli amanti della geometria.

METODO SEMI ANALITICO DI ENZO

Notiamo subito che essendo AB // CD, le aree dei triangoli ABM e DKC sono indipendenti dalla posizione di M e K, dato che hanno sempre stessa base e stessa altezza. Mettendo K in A e M in C concludiamo subito che la somma dei due triangoli ABM e DKC è uguale all’area del trapezio t. E questo, ripetiamo, è un risultato valido per qualsiasi  posizione di K e M.

Consideriamo, adesso, l’unione dei due triangoli ABM e DKC. Essi hanno una parte in comune che è proprio il quadrilatero di area q. L’unione dà luogo all’area colorata in rosa della Fig. 1. Ne segue che la differenza tra la somma delle loro aree meno la loro unione deve essere uguale all’area del quadrilatero, che è quindi anche l’area dei due triangoli lasciati in bianco.

Possiamo perciò scrivere:

S(ABM U DKC) = S(ABM) + S(DKC) – q = S(ABCD) – q = t – q

q = t - S(ABM U DKC)                                   .... (1)

Individuiamo meglio il quadrilatero  q indicando con E e F le intersezioni del triangolo AMB e CKD.

L’area in rosa, ossia l’area dell’unione dei triangoli, può anche essere scritta come:

S(ABM U DKC) = S(DME) + S(AEK) + S(MFC) + S(KFB) + q

Sostituendo, la (1) diventa:

q = t – (S(DME) + S(AEK) + S(MFC) + S(KFB)) – q

2q = t – (S(DME) + S(AEK) + S(MFC) + S(KFB))

q = t/2 - (S(DME) + S(AEK) + S(MFC) + S(KFB))/2           .... (2)

Essendo AB parallela a DC, i triangoli DME e AEK sono simili, così come lo sono anche MFC e KFB. Chiamiamo h1 l’altezza del triangolo DME e h2 l’altezza del triangolo AEK.

Dalla loro similitudine, possiamo scrivere:

h1/h2 = DM/AK

h1/(h1 + h2) = DM/(DM + AK)

h1 = (h1 + h2)DM/(DM + AK) = h DM/(DM + AK)

(h1 + h2)/h2 = (DM + AK)/AK

h2 = (h1 + h2)(DM + AK)/AK = h AK/(DM + AK)

S(DME) = 1/2DM h1

S(AKE) = 1/2AK h2

S(DME)+S(AKE) = ½ DM h1 + ½ AK h2 = 1/2DM h DM/(DM + AK) + ½ AK h AK/(DM + AK)

S(DME)+S(AKE) = ½ h (DM² + AK²)/(DM + AK)

In modo del tutto analogo i due triangoli MFC e KFB danno:

S(MFC) + S(KFB) = ½ h (KB² – MC²)/( KB + MC)

Non ci resta che introdurre la posizione x di M

Poniamo:

DM = x

E, di conseguenza:

MC = DC – x

La (2) diventa:

q = t/2 - (S(DME) + S(AEK) + S(MFC) + S(KFB))/2 = t/2 – ¼ h((DM² + AK²)/(DM + AK) + (KB² – MC²)/(KB + MC))

q = t/2 – ¼ h((x² + AK²)/(x + AK) + (KB² +(DC – x)²)/(KB + DC – x))

Ciò che viene moltiplicato per ¼ h è una quantità sicuramente positiva, per cui massimizzare la quantità del secondo membro, equivale a minimizzarla, ossia a volere la x che renda minima l’equazione

f(x) = (x² + AK²)/(x + AK) + ((DC – x)² + KB²)/(DC – x + KB))

Prima di calcolarne la derivata rispetto a x, è bene cercare di renderla più comoda  per tale operazione. Notiamo che al numeratore delle due espressioni compare una somma di quadrati.  Sarebbe più utile avere la differenza di quadrati. Facile… basta aggiungere e togliere AK² nel numeratore della prima e (DC – x)² in quello della seconda.

La prima espressione diventa

(x² + AK² – AK² + AK²)/(x + AK) = ((x² – AK²) + 2AK²)/(x + AK) = (x² –AK²)/(x + AK) + 2AK²/(x + AK) = (x + AK)(x – AK)/(x + AK) + 2AK²/(x + AK) = x – AK + 2AK²/(x + AK)

In modo analogo trasformiamo anche la seconda espressione, ottenendo:

f(x) = x – AK + 2AK²/(x + AK) + DC – x – KB + 2KB²/(DC – x + KB)

x si elimina con –x e rimangono isolati dei termini costanti come AK, DC e KB. Inoltre la x compare solo al denominatore.

Deriviamo e poniamo uguale a 0 per trovare il minimo della funzione

f ‘(x) = - 2AK²/(x + AK)² + 2KB²/(DC – x + KB)² = 0

AK²/(x + AK)² = KB²/(DC – x + KB)²

A questo punto non resta che risolvere l’equazione svolgendo tutti i calcoli. E qui si dimostra veramente la “cattiveria” del quiz! Non vi è molto da semplificare ed è necessaria un’attenzione particolare per non commettere errori di segno o di lettera che non venivano assolutamente perdonati.  Se pensiamo alla tensione dello studente e la inutilità di un calcolo, la cui riuscita è  puramente legata a piccole sviste, la faccenda diventa sicuramente impietosa.

Chi vuole provare a fare tutti i conti, assolutamente banali ma facilissimi da causare piccoli errori, può mettersi alla prova. Il risultato è alla fine molto sintetico:

x = DM = AK · CD/AB

Tuttavia, anche se qualcuno fosse passato indenne, si sarebbe sentito chiedere se quanto trovato fosse stato un minimo un massimo, invitando il candidato a svolgere per verifica la derivata seconda. Una vera e propria condanna a morte!

 

QUI il METODO PURAMENTE GEOMETRICO di Sprmnt21

 

Nei commenti trovate anche un metodo semi analitico di Fabrizio e uno analogo di Sprmnt21. Quanta abbondanza! Cari amici, avreste avuto l'ingresso all'Università garantito... a parte il tempo che vi avrebbero dato.

Di seguito il metodo semi analitico di Fabrizio, che calcola anche l'area del quadrilatero, anche se non prevista dal problema. Una interessante aggiunta!

METODO SEMIANALITICO DI FABRIZIO