Per dimostrare ancora meglio la semplicità ed eleganza della soluzione "alla greca" descriveremo la procedura senza fare nessun calcolo, m solo attraverso il ragionamento e la costruzione grafica richiesta. Solo l'ultimo passaggio ha bisogno del teorema di Pitagora, ma le grandezze coinvolte sono tali che il risultato finale può ottenersi "a mente". Sono solo necessarie la conoscenza di elementari proprietà della circonferenza, una giusta valutazione delle operazioni ammesse con riga e compasso e una bnona dose di ragionamento.

SOLUZIONE (con tutti i passaggi "alla greca")

1.  Costruzione della figura di partenza 

Ciò che dobbiamo fare è descritto in Fig. 1.

Consideriamo una circonferenza di raggio R e di centro O1, e tracciamo un suo diametro, ossia una retta che passi per il suo centro O₁ e tocchi la circonferenza in T.  Con centro in T tracciamo la circonferenza di raggio r. Il punto dove questa incontra il diametro si indica con O₂ e si traccia la circonferenza di raggio O₂T = r. La perpendicolare a OT tracciata da T individua la tangente comune t. Ovviamente sia R che r possono essere scelti in modo arbitrario, aprendo il compasso a piacere.

Prendiamo, ora, un punto  P qualsiasi su questa retta e disegniamo le tangenti alle due circonferenze appena disegnate. Come fare? facilissimo... Facendo centro in P, tracciamo la circonferenza di raggio PT. Essa incontra le circonferenze di raggi R e r, nei punti T₁ e T₂, che sono proprio i punti di tangenza  cercati, dato che PT = PT₁ = PT₂, per costruzione.  L'angolo T₁PT₂ è proprio l'angolo a che vogliamo rendere massimo per determinare la posizione di P lungo la retta t. Chiamiamo x la distanza tra P e T.

2. Trasporto dell'angolo 

L’angolo a è definito da tre punti variabili (P, T₁ e T₂) ed è marcato in rosso nella Fig. 2.

Sarebbe molto meglio che fosse definito come un angolo in cui varia solo P.

L’angolo grande blu T₁PT  meno l'angolo piccolo blu T₂PT è proprio l'angolo a cercato per sua definizione. L'angolo grande verdeT₁PO₁ è metà dell’angolo grande blu, mentre l'angolo piccolo verde O₂PT è la metà dell'angolo piccolo blu. Ma, allora la loro differenza deve essere la metà dell'angolo a di cui si vuole il massimo. Ne segue che possiamo risolvere il nostro problema cercando di massimizzare quest'ultimo angolo O₁PO_2, pari ad a/2. L'angolo O₁PO₂ varia al variare di P mentre O₁ e O₂ rimangono fissi, proprio ciò che volevamo.

3. Costruzione di a/2 massimo.

L'angolo O1PO2  raggiunge sicuramente il suo massimo nel tratto PT. Infatti, andando verso l’alto a/2 diminuisce tendendo a zero, mentre diventa proprio zero quando P raggiunge T. Come possiamo, perciò, trovare P_m che corrisponde ad a/2 massimo? Consideriamo la Fig. 3.

Indichiamo alcuni Punti P_i che scorrono lungo t. L'angolo da massimizzare è l'angolo arancione. L'ideale sarebbe poterlo confrontare con un angolo costante e vedere quanto l'angolo arancione differisca da lui. Come angolo costante, prendiamo l'angolo blu con vertice in B_i. L'angolo blu è formato da due segmenti che partono da O₁ e O₂. Dovendo rimanere costante, cosa c'è di meglio che considerare i vertici B_i come punti della circonferenza che passi dai due punti O₁ e O₂ e che sia tangente a t nel punto Q?  Prima e dopo tale punto, l'angolo arancione è sempre più piccolo dell'angolo blu: i due angoli diventano uguali solo nel punto Q che, quindi, è proprio Pm. Ovviamente, gli angoli con vertice in B_i sono tutti uguali tra loro essendo angoli alla circonferenza dello stesso arco O₁O₂.

Non ci resta che costruire "alla greca" questa circonferenza. Il suo centro deve ovviamente stare sulla retta n che è parallela a t e che passa per il punto medio tra O₁ e O₂ (data una qualsiasi corda la perpendicolare nel suo punto di mezzo DEVE passare per il centro). Inoltre, per essere tangente a t, il suo raggio deve essere pari alla distanza d tra queste due rette parallele. Possiamo prendere ovunque d = SV  e tracciare la retta  che congiunge V con O₂ e la sua parallela che passa per S e incontra la retta O₁O₂ in un punto N. Con raggio O₂N e centro O₂, tracciamo una circonferenza che intersechi la perpendicolare n nel punto O'. Questo punto è proprio il centro della circonferenza cercata, dato che il suo centro sta sulla retta n e il suo raggio è uguale a SV = O₂Pm= O'O1 =  O'O₂.

Graficamente il problema è risolto. Per quantificare il risultato basta considerare il triangolo rettangolo O'O₂M, 

Ovviamente

MO₂ = (R - r)/2

E' banale anche ricavare O₂O', sapendo che è il raggio del cerchio rosso ed è, quindi, uguale a MT.

O₂O' = MT =  MO2 + O2T = (R - r)/2 + r = (R + r)/2

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo O'O₂M:

x = MT = 1/2√((R + r)² - (R - r)²) = 1/2√(4Rr) = √(Rr)

x = √(Rr)

Notiamo come le espressioni dei due lati  sono veramente semplici e, quadrandoli, portano a una immediata e drastica semplificazione. Ne segue che il risultato potrebbe essere ricavato anche a mente.

Possiamo anche calcolare l'angolo a corrispondente dallo stesso triangolo, con un pizzico di trigonometria, dato che l'angolo al centro dell'arco O1O2 è il doppio dell'angolo alla circonferenza.

tan(a/2) = (x - y)/2√rR

Come potete vedere nei commenti, Sprmnt21 è arrivato alla stessa soluzione in modo praticamente uguale.