Categorie: Matematica
Tags: problema "russo" killer quiz risolvere equazione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:11
Un'equazione diabolica ***
Una equazione diabolica ? No, non molto… Anzi, devo dire che questo è forse il più simpatico tra i problemi "russi".
Trovare tutte le radici reali di questa equazione:
x3 - 2(2x-1)1/3 + 1 = 0
scordatevi Ruffini e altre regole più o meno simili... così come non basta una soluzione grafica "approssimata". Il tempo a disposizione è molto breve... tre minuti circa di calcolo effettivo, dopo aver avuto un'idea brillante e meno ovvia.
11 commenti
Caro Enzo, così ad occhio e velocemente direi X=1
Paolo
Paolino...
beh.. 1 è ovvio, ma le altre?!
SCrivendo l'equazione nella forma (x^3+1)/2 = (2x-1)^(1/3) noto che il primo membro fa delle operazioni sulla x mentre il secondo fa le operazioni inverse in ordine inverso.
Segue in bianco un suggerimento per iniziare una possibiule via (io adesso devo cucinare, ci provo dopo cena)
da questo si può ricavare un sistema simmetrico in due incognite su cui forse è più semplice lavorare (è una vita che non faccio cose di questo tipo)
Ecco un modo per ...
Ovviamente(?) non è questa la prima ideache viene in mente.
Ho provato prima (molte) altre strade, ma conducevano tutte ad equazioni di grado anche usando Ruffini, ci si ferma alla sola radice 1.
Per provare che x^2+xy+y^2+2=0 non ha soluzioni reali si consideri le forme equivalenti
4x^2+4xy+4y^2+8=
(2x+y)^2+3y^2+8
Ma questa ultima è evidentemente >0 per tutti gli x,y reali.
caro Sprmnt21,
hai allungato una soluzione immediata... che hai anche proposto...
aggiungo... in realtà non c'è bisogno della parte di destra.
Buon anno!
Mi è sempre rimasto il dubbio, invece, che la parte destra sia in generale necessaria.
Cioé non è vero, IN GENERALE, che le intersezioni di cubiche simmetriche, nel senso visto per l'equazione "diabolica" stiano tutte sulla bisettrice del primo quadrante.
La seguente equazione "angelica" (ma anche il diavole è stato angelo) ne è un controesempio.
x^3-3x - (3x^3 - 8x)^(1/3) = 0.
Ma le funzioni erano entrambi crescenti ... bastava probabilmente aggiungere questa caratteristica. Il grafico lo dimostra facilmente...