Trovare le esatte soluzioni reali dell’equazione

2(2x – 1)^1/3 - x³ – 1= 0

Per risolverla graficamente basterebbe disegnare la funzione

y = 2(2x – 1)^1/3 - x³ – 1

e vedere dove la funzione interseca l’asse delle x. Purtroppo, però, si richiedono le soluzioni ESATTE e lo studio di funzione non permette questa precisione. L’unico modo è uguagliare a zero la funzione e trovarne le radici. Sviluppando i calcoli ci rendiamo conto che si arriva a un’equazione di grado elevato, la cui soluzione puramente algebrica non permetterebbe uno svolgimento “rapido” come richiesto.

Bisogna allora guadare bene l'equazione e soffermarsi sul fatto che compare sia il cubo che la radice cubica. Una è l'inversa dell'altra... Bene, lo spunto è quello giusto. Dividiamola in due parti

2(2x – 1)^1/3 = x³ + 1

Abbiamo il cubo da una parte e la radice cubica dall’altra. Vi è anche un 1 e un meno 1. La x è moltiplicata per 2 a sinistra, mentre manca a destra. Ci sono tutte le caratteristiche che potrebbero far pensare a una funzione inversa dell'altra.  Portiamo il 2 a secondo membro, ottenendo l’uguaglianza:

(2x – 1)^1/3 = (x³ + 1)/2                .... (1)

Consideriamo solo il secondo membro che diventa una certa funzione

y = (x³ + 1)/2

Come ben sappiamo, basta estrarre la x in funzione di y e, poi, cambiare x in y . Questa sarà l’inversa della funzione di partenza e sarà simmetrica rispetto alla retta y = x.

x³ + 1 = 2y

x³ = 2y – 1

x = (2y – 1)^1/3

y = (2x - 1)^1/3

Magnifico! La funzione inversa è uguale alla funzione di sinistra. Il che vuol dire che la funzione di destra e quella di sinistra nella (1)sono simmetriche rispetto alla retta y = x. Il che vuole anche dire che esse risultano uguali solo quando incrocino entrambe la retta y = x.  Basta perciò uguagliare una delle due parti a x per trovare tutte le sue intersezioni con la retta y = x, che rappresentano anche  tutti i punti che sono in comune alle due funzioni e quindi soddisfano l'equazione di partenza. Usiamo la funzione

(x³ + 1)/2 = x

e risolvere una semplice equazione di terzo grado…

x³ – 2x + 1 = 0

Ripetiamo che le sue soluzioni sono ovviamente le stesse che permettono di uguagliare le due funzioni (quella di sinistra e quella di destra)  e risolvere l’equazione di partenza.

La prima soluzione è immediata

x₁  = 1

Per far comparire (x - 1) nell’equazione, senza bisogno di applicare Ruffini, basta "addomesicarla" un po':

x³ – 2x + 1 = x³ - x + 1 - x = x(x² - 1) - (x -1) = x(x + 1)(x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (x(x + 1) - 1) = 0

x = 1  dà la prima soluzione, come già trovato, mentre le altre soluzioni sono date da:

x(x + 1) - 1 = 0

x² + x – 1 = 0

x_2,3 = (-1 +/- √5)/2

Esse sono entrambe reali.

Il procedimento è esattamente quello usato da Sprmnt21, il quale, però, esegue anche un'ulteriore prova per concludere che queste sono le uniche soluzioni reali. In realtà, basta ciò che abbiamo fatto noi per ottenere lo stesso risultato, proprio per le caratteristiche delle funzioni inverse.

Notiamo, come già accennato) che potevamo benissimo uguagliare a x la seconda equazione

(2x - 1)^1/3 = x

2x - 1 = x³

x3 - 2x + 1 = 0

ottenendo la stessa equazione cubica di prima...

Ed ecco il grafico corrispondente...

Possiamo anche eseguire il grafico dell'equazione di partenza, ponendola uguale a y e vedendone i punti in cui interseca l'asse x.  Un grafico non difficile da ricavare attraverso lo studio di funzione, ma non sufficiente per la soluzione richiesta.