Il nostro bravissimo Sprmnt21 ha, ovviamente, dato la giusta risposta. Il procedimento non è proprio banale e preferisco scrivere con maggiori dettagli la soluzione, mettendo in evidenza alcuni concetti essenziali.

Dimostrare che la somma dei numeri

1/(n³ + 3n² + 2n)

per n che va da 1 a N = 1000

è minore di ¼

Il problema ha bisogno di un po’ di ragionamento preliminare, utilizzando anche alcune proprietà algebriche non molto comuni. Andiamo per gradi e vediamo come giungere a una trasformazione del nostro rapporto che ci permetta di avere a che fare con una somma più semplice.

Il primo passaggio è molto semplice e piuttosto intuitivo: fattorizzare il polinomio al denominatore. Innanzitutto mettiamo in evidenza n e otteniamo:

n(n²+ 3n + 2)

Si può fare di più, risolvendo l’equazione di secondo grado in n, che porta al semplice risultato:

n = (- 3 +/- √(9 – 4∙2))/2

n1 = (- 3 +1)/2 = -1

n2 = (- 3 -1)/2 = -2

Il polinomio può perciò essere scritto come:

n(n +1)(n + 2)

Il numero di cui si vuole la somma diventa:

1/n(n +1)(n+2))

Un passaggio elementare che non sembra, però, aver aiutato molto. Infatti, siamo ancora di fronte a un prodotto di frazioni:

1/n ∙ 1/(n + 1) ∙ 1/(n + 2)

Sarebbe molto meglio se fossimo di fronte a una somma di frazioni, tenendo anche presente (e questa è l’idea chiave) che abbiamo dei possibili denominatori che sono del tipo n, n +1, n +2, ossia a_n, a_{n+k ,} ecc. I più esperti dovrebbero quindi pensare a una (o più) serie telescopiche, ossia quelle in cui si eliminano quasi tutti i termini intermedi.

Cominciamo, allora, a trasformare il prodotto delle frazioni in somma di frazioni, ossia invece di avere, ad esempio, 1/(n +1)(n+2) vogliamo qualcosa del tipo a/(n + 1) + b(n + 2)… Non è difficile determinare i numeratori che soddisfino questa trasformazione.

Nel nostro caso abbiamo:

1/(n(n+1)(n + 2) = a/n + b/(n +1) + c/(n+2)                        …. (1)

Dobbiamo determinare a, b e c

Portiamo il secondo membro a denominatore comune…

1/(n(n+1)(n + 2)) = a/n + b/(n +1) + c/(n+2) = [a(n +1)(n +2) + b(n)(n+2) + c(n)(n +1)]/ (n(n+1)(n + 2))

Notiamo che entrambi i membri hanno lo stesso denominatore, per cui possiamo uguagliare solo i numeratori

1 = a(n +1)(n +2) + b(n)(n+2) + c(n)(n +1)

Per determinare a, b e c, basta inserire i tre valori di n  già trovati, ossia n = 0 n = -1 e n = -2

Per n = 0, abbiamo

1 = a(1)(2) + 0 + 0 = 2a

a = 1/2

per n = -1, abbiamo:

1 = 0 + b(-1)(1) + 0

b = -1

per n = -2

1 = 0 + 0 + c(-2)(-1) = 2c

c = ½

La (1) diventa:

1/(n(n+1)(n + 2) = ½/n - 1/(n +1) + ½/(n+2)  = 1/(2n) -1/(n + 1) +1/(2(n + 2))

Abbiamo completato la nostra trasformazione. Vi sono tre frazioni, ma ce ne vorrebbero quattro in modo da preparare le somme necessarie per ottenere due serie telescopiche. Due frazioni devono avere n e n + 1 o n + 2 a denominatore e le altre due n + 1 e n + 2. Non è difficile… basta spezzare in due la frazione 1/(2(n + 2)). Infatti, essa può essere scritta come:

1/(2(n + 2)) = 1/(n +2)- 1/(2(n + 2))

Per cui abbiamo:

1/2n – 1/(2(n + 2) – 1/(n + 1) + 1/(n + 2)

½(1/n – 1(n + 2)) – (1/(n + 1) – 1/(n + 2))

Non ci resta che fare la somma delle prima due frazioni e quella delle seconde:

1/2∑_n=1^N(1/(n) – 1/(n +2)) - ∑_n=1^N(1/(n +1) – 1/(n +2))

Trattiamo separatamente le due serie, che si dimostreranno essere proprie telescopiche e quindi si ridurranno di molto.

Prima serie:

n = 1              1     -  1/3

n = 2              1/2 – 1/4

n = 3              1/3 – 1/5

n = 4              1/4 – 1/6

….

n = N – 2    1/(N – 2) – 1/N)

n = N - 1    1/(N -1) - 1/(N+ 1)

n = N          1/N  - 1/(N + 2)

½ ∑_n=1^N(1/n – 1/(n +2)) = ½(1 + ½ - 1/(N + 1) – 1/(N + 2)) = ½ + ¼  -1/(2(N +1)) – 1/(2(N + 2))

Seconda serie:

n = 1              1/2 - 1/3

n = 2              1/3 – ¼

n = 3               ¼  - 1/5

….

n = N – 1      1/N – 1/(N +1)

n = N             1/(N + 1) – 1/(N + 2)

La somma diventa…

- ∑_n=1^N(1/(n +1) – 1/(n +2)) = - ½ + 1/(N + 2)

Sommiamo le due somme:

½ + ¼  - 1/(2(N +1)) – 1/(2(N + 2)) - ½ + 1/(N + 2)

¼  - 1/(2(N + 1)) – 1/(2(N + 2)) + 1/(N +2) = ¼ - (1/(2(N + 1)) + 1/2(N + 2))

¼ - ((N + 2) - (N + 1))/(2(N + 1(N +2)) = ¼ - (N + 2 – N -1)/(2(N +1)(N +2))

Ma questa espressione non è altro che la somma desiderata

¼  - 1/(2(N +1)(N+2))

Dove la seconda frazione è qualcosa di positivo che continua a decrescere al crescere di n, ma che è sicuramente minore di ¼, comportando, perciò che l’intera espressione sia minore di ¼. Il che vuole anche dire che la somma richiesta tende a ¼ per n che tende a infinito.

c.d.d