Categorie: Matematica
Tags: geometria luogo dei punti quiz triangolo equilatero uguaglianza di aree
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:6
(QI) Un "semplice" triangolo equilatero ****
Sia ABC un triangolo equilatero con il lato uguale ad a. Si consideri un punto P interno al triangolo e si traccino da esso le parallele ai tre lati del triangolo. Si ottengono tre triangoli minori e tre parallelogrammi con i lati uguali ad a1, a2 e a3, come mostrato in figura.
Determinare il luogo dei punti P tali che la somma delle aree dei tre triangoli minori sia uguale alla somme delle aree dei tre parallelogrammi.
Io ho utilizzato un minimo di trigonometria e un paio di teoremi non molto noti, di cui si chiede la dimostrazione. E' vietata la geometria analitica...
ATTENZIONE: Non si chiede soltanto una relazione tra i vari segmenti a1, a2, a3 e il lato a, ma una chiara (e dimostrata) definizione del luogo dei punti.
6 commenti
Provo a trovare il fatto reclamato come conseguenza di un fatto leggermente più generale.
Sia O il centro del triangolo equilatero ABC. Sia OM, con M su BC, la retta perpendicolare alla retta CO.
Sia E un generico punto del piano ABC e siano F,G,H,I e K le proiezioni ortogonali di E su AB, BC, CA, OM e Co rispettivamente.
Calcoliamo la somma EF^2 + EG^2 + EH^2.
Per il termine EG, sia J l’intersezione di EK con BC ed L la proiezione di J su OM.
Valgono le seguenti uguaglianze, basate sulle relazioni tra gli elementi di un triangolo equilatero:
EG = rq(3)/2EJ = = rq(3)/2IL; IL = OM – OI – LM = OM – EK – JLrq(3) = OM – EK – EI/rq(3)
EG = (OM – EK – EI/rq(3))rq(3)/2
In modo analogo, si prova che:
EG = (OM + EK – EI/rq(3))rq(3)/2
Mentre si ha facilmente che
EF = EI + IF
EF^2 + EG^2 + EH^2 =
3/4(OM^2 + EK^2 + EI^2/3 -2OMN*EK -2OM*EI/rq(3) + 2EK*EI/rq(3)) +
3/4(OM^2 + EK^2 + EI^2/3 +2OMN*EK -2OM*EI/rq(3) - 2EK*EI/rq(3)) +
EI^2 + IF^2 + 2EI*IF =
3/2OM^2 + 3/2EK^2 + EI^2/2 – rq(3)OM*EI + EI^2 + IF^2 + 2EI*IF (1)
Ma, dato che OM = 2/rq(3)IF, risulta che – rq(3)OM*EI + 2EI*IF = 0 e IF = rq(3)/2OM
Pertanto la (1) si riduce a
3/2EK^2 + 3/2EI^2 +3IF^2
Cioè 3OE^2/2 +3IF^2.
Questo comporta che la somma(1) = cost. implica che OE^2 = cost. cioè E sta su una circonferenza centrata in O.
Dato che la somma dei tre triangoli equilateri è proporzionale alla somma dei quadrati delle rispettive altezze, il luogo cercato è una circonferenza di centro O. Si prova facilmente che per la condizione data deve passare per il punto medio dei lati.
Riscrivo la parte sotto la figura per sistemare qualche refuso
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Per il termine EG, sia J l’intersezione di EK con BC ed L la proiezione di J su OM.
Valgono le seguenti uguaglianze, basate sulle relazioni tra gli elementi di un triangolo equilatero:
EG = rq(3)/2EJ = = rq(3)/2IL; IL = OM – OI – LM = OM – EK – JLrq(3) = OM – EK – EI/rq(3)
EG = (OM – EK – EI/rq(3))rq(3)/2
In modo analogo, si prova che:
EH = (OM + EK – EI/rq(3))rq(3)/2
Mentre si ha facilmente che
EF = EI + IF
Quindi, mettendo tutto insieme:
EF^2 + EG^2 + EH^2 =
3/4(OM^2 + EK^2 + EI^2/3 -2OMN*EK -2OM*EI/rq(3) + 2EK*EI/rq(3)) +
3/4(OM^2 + EK^2 + EI^2/3 +2OMN*EK -2OM*EI/rq(3) - 2EK*EI/rq(3)) +
EI^2 + IF^2 + 2EI*IF =
3/2OM^2 + 3/2EK^2 + EI^2/2 – rq(3)OM*EI + EI^2 + IF^2 + 2EI*IF (1)
Ma, dato che OM = 2/rq(3)IF, risulta che – rq(3)OM*EI + 2EI*IF = 0 e IF = rq(3)/2OM
Pertanto la (1) si riduce a
3/2EK^2 + 3/2EI^2 +3IF^2
Cioé EF^2 + EG^2 + EH^2 = 3OE^2/2 +3IF^2.
Questo comporta che se la somma(1) = cost. allora ancche OE^2 = cost. cioè E sta su una circonferenza centrata in O.
Dato che la somma dei tre triangoli equilateri è proporzionale alla somma dei quadrati delle rispettive altezze, il luogo cercato è una circonferenza di centro O. Si prova facilmente che per la condizione data deve passare per il punto medio dei lati.
"una circonferenza di centro O. Si prova facilmente che per la condizione data deve passare per il punto medio dei lati."
ossia...?
caro Sprmnt21,
continuo a non capire il motivo per cui cambi sempre la figura e la denominazione dei punti. Ciò comporta una grande fatica nel fare confronti. Inoltre, tu sei sicuramente bravissimo, ma questo non ti deve esimere dallo spiegare i vari passaggi che per te saranno anche banalissimi, ma non per molti dei lettori. Questo tipo di problemi necessita una spiegazione molto accurata per farla piacere ai più... La geometria è bella NON perché è difficile, ma perché può essere spiegata in modo chiaro a tutti i volenterosi di imparare...
Nel testo si parlava di una relazione con a1,a2 2 a3. ma tu non l'hai tenuto in conto... Hai fatto un ottimo lavoro, ma - mi spiace dirlo- rivolto a ben pochi...
Non penso proprio di aver voglia di tradurre la tua interpretazione, che mi sembra sicuramente interessante, ma mi limiterò a dare una versione molto più comprensibile, senza omettere anche i passaggi meno complicati.
Purtroppo non riusciamo a metterci in sintonia sullo scopo di questi esercizi.
Nel seguito indico con rad( ) la radice quadrata.
Applicando il teorema di Pitagora ,in un triangolo equilatero l'altezza H è sempre rad(3) /2 x a , ove a è il lato.
Oppure , inversamente, il lato del triangolo è sempre uguale a 2/rad(3) x H .
L'area sarà quindi lato x altezza /2 = H^2 /rad(3) .
Se l'area complessiva dei 3 triangoli (chiamiamola AT) deve essere uguale a quella dei parallelogrammi , allora la somma delle aree dei triangoli deve assere la metà di quella totale.
Quindi AT= H^2 /(2 x rad(3) ).
Ma ogni singolo triangolo ha area = hi ^2 /(2 x rad(3) ), ove hi è l'altezza del singolo triangolino. Le altezze sono sempre perpendicolari al lato del triangolo.
I punti di contatto individuano il "pedale" del triangolo principale.
Quindi Somma hi ^2 /(2 x rad(3) ) = AT= H^2 /(2 x rad(3) ).
da cui h1 ^2 +h2 ^2 +h3 ^2 = H^2 = costante.
Le tre distanze (h1,h2,h3) del punto P dai tre lati possono essere considerate le coordinate di un punto in uno spazio a tre dimensioni
(x,y,z) cioè I raggi di una sfera di raggio H.
Esiste il Teorema di Viviani: in un triangolo equilatero h1+h2+h3 è sempre uguale all'altezza H del triangolo.
Nello spazio 3D, l'insieme dei punti la cui somma delle coordinate è costante identifica un piano. Il triangolo non è altro che una "fetta" di questo piano.
Il luogo dei punti P cercato è l'intersezione il piano dove giace il triangolo e la sfera.
Ma l'intersezione tra un piano e una sfera è sempre una circonferenza, e poiché il piano è inclinato in modo simmetrico rispetto ai tre assi, il centro di questa circonferenza deve proiettarsi esattamente nel "centro" del triangolo (incentro).
Una circonferenza passa per tre punti. Essi possono essere individuati dai punti ove una delle tre altezze è nulla , cioè h1 ^2 +h2 ^2 = H^2, cioè ove l'incentro
è tangente al lato relativo ah h1=0.
Mi scuso per le notazioni poco visibili ma non mi funziona la generazione di espressioni Latex.