Ho visto con grande piacere che si sono cimentati, come sempre ottimamente, i nostri grandi Sprmnt21, Leandro e Fabrizio, dando risposte  esaurienti, anche se non sempre spiegate nei loro dettagli. In realtà, solo Fabrizio sembra avere concluso con una chiara definizione del luogo dei punti.

Il problema merita, comunque, di essere risolto attraverso l'utilizzo di un paio di teoremi piuttosto interessanti, il primo dei quali sicuramente poco noto, ma -in parte- inaspettato.  Il triangolo equilatero, sebbene sia il più semplice fra tutti, riserva sempre nuove sorprese. Invito, perciò, anche i meno esperti a cercare di seguire i vari passaggi, convinto che troveranno piacere nel  comprendere il concetto di base: ciò che è esterno diventa facilmente interno e viceversa.

Prima di iniziare a risolvere il nostro problema, perciò, facciamo comparire (e dimostriamo) una proprietà dei triangoli equilateri che ci sarà molto utile.

Cerchio circoscritto come luogo di punti

Dato un triangolo equilatero ABC, per un qualsiasi punto P del  cerchio circoscritto, di raggio R, deve valere la relazione

PA² + PB² + PC² = 6R²                   .... (1)

In altre parole, il cerchio circoscritto a un triangolo equilatero è il luogo dei punti per cui vale la relazione (1).

La dimostrazione si può ottenere in vari modi, ma noi ne usiamo uno decisamente semplice, come mostra la Fig.1, dove P è un punto qualsiasi del cerchio circoscritto.

Ricordiamo, innanzitutto che il lato del triangolo è uguale al raggio del cerchio moltiplicato per √3

AB = BC = CA = R√3

Il triangolo equilatero ha tutti gli angoli di 60°. Notiamo, perciò, che, per la nota proprietà degli angoli alla circonferenza, anche i due angoli in P sono di 60°.

Consideriamo il triangolo BPC, in cui l'angolo in P vale, come detto, 60+ 60 = 120°. Applichiamogli il teorema di Carnot o del coseno:

BC² = PB² + PC² - 2 PB PC cos(120) = PB² + PC² + PB · PC

PB · PC = BC² - PB² - PC²                   .... (2)

Consideriamo il quadrilatero APBC e utilizziamo il teorema di Tolomeo:

AP · BC = AB ·PC + AC · PB  

ma BC = AB = AC  

per cui:

AP = PC + PB

quadrando:

AP² = PC² + PB² + 2 PC · PB

sostituendo la (2)

AP² = PC² +  PB² + 2BC² - 2PB² - 2PC²

AP² = - PC² - PB² + 2BC²

AP² + PC² + PB² = 2BC²

Ma BC = √3 R

BC² = 3 R²

AP² + PC² + PB² = 6R²

c.v.d.

Questa relazione risulterà fondamentale per la soluzione del problema. Notiamo, infatti, un fatto che potrebbe far pensare alla strategia da seguire. Riprendiamo la figura di partenza (Fig. 2)

Disegniamo, adesso, anche il cerchio inscritto al triangolo ABC. Notiamo che il triangolo KLM è sicuramente equilatero e ha i vertici nei punti medi dei lati del triangolo ABC. Tale triangolo non sarebbe altri che il cerchio circoscritto a KLM (la dimostrazione di queste affermazioni è banalissima dato che basterebbe trovare i punti medi K,L e M e tracciare le parallele ai tre lati di ABC)

Molto bene. Se, utilizzando i dati del problema, dovessimo provare che un punto interno al triangolo ABC, avente la capacità di dividerlo in tre triangoli e tre  parallelogrammi di somma delle aree uguali,  desse come risultato (r raggio del cerchio inscritto)

PK2 + PL2 + PM2 = 6r2

Avremmo trovato che il punto P descriverebbe il cerchio circoscritto al triangolo KLM, ossia il cerchio inscritto ad ABC.

Iniziamo, facendo intervenire i dati di partenza, ossia a e a1, a2, a3.

Notiamo subito che PK,PL e PM si ricavano applicando tre volte il teorema della mediana, dovuto al grande Apollonio di Perga.

Teorema della mediana

Esso dice:

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati mano la metà del quadrato del primo lato.

Consideriamo il triangolo ABC e tracciamo la mediana AC in Fig. 3

Vogliamo dimostrare che 

2CM²= AC² + CB² - AB²/2

Utilizziamo due volte il teorema di Carnot per trovare AC² e CB²

AC² = CM² + AM² – 2 CM · AM cos(a)

CB² = CM² + MB² - 2 CM · MB  cos (180 - a) = CM2 + MB2 + 2 CM · MB cos(a)

sommiamole

AC² + CB² = 2CM² + AM2 + MB² 

Ma

AM = MB

AC² + CB² = 2CM² + 2(AM²)

2CM2 = AC² + CB² - 2(AB/2)² = AC² + CB² - 2(AB²/4)

2CM² = AC² + CB² - AB²/2

c.v.d.

Utilizziamo questo teorema per i triangoli APB, APC e BPC (Fig. 4)

ottenendo:

2PK² = AP² + BP² - a²/2

2PL² = AP² + PC² - a²/2

2PM² = PB² + PC² - a²/2

che sommati assieme portano a:

2PK² + 2PL² + 2PM² = 2AP² + 2PB² + 2PC² - 3a²/2

PK² + PL² + PM²  = PA² + PB² + PC² - 3a²/4                 .... (3)

Vogliamo adesso esprimere PA, PB e PC in funzione dei dati a, a1, a2 e a3 ...

Consideriamo i triangoli ADP, FBP e PGC in Fig. 4.

Di essi vogliamo trovare i segmenti AP, BP e CP in funzione di a1, a2 e a3. Basta applicare a ciascuno di loro il teorema di Carnot notando che l'angolo opposto ai tre lati cercati vale sempre 180° - 60° = 120°, ossia cos(120) = -1/2.

PA² = a3² + a1² + a1a3

PB² = a2² + a1² + a1a2

PC² = a2² + a3² + a2a3

sommandole

PA² + PB² + PC² = 2(a1²+ a2² + a3²) + (a1a3+ a1a2 + a2a3)         .... (4)

Non ci resta che calcolare le aree dei tre triangolini (3St) e dei tre parallelogrammi (3Sp), conoscendone le  basi e le altezze in termini di a1,a2 e a3:

3St = (√3/4)(a1² + a2² + a3²)

3Sp =(√3/2)(a1a2 + a1a3 + a2a3)

1/2 S(ABC) = √3 a²/8

Imponiamo che queste aree siano la metà dell'area del triangolo ABC, eseguendo banali semplificazioni:

(a1² + a2² + a3²) = a²/2

(a1a2 + a1a3 + a2a3) = a²/4

Inserendo queste espressioni nella (4) otteniamo

PA² + PB² + PC² = a² + a²/4 

Sostituendo questa espressione nella (3)

PK² + PL² + PM² = a² + a²/4 - 3a²/4 = (4a² + a² - 3a²)/4

PK² + PL² + PM² = a²/2

ma

a = 2r√3

a²/2 = (4r² 3)/2 = 6r²

PK² + PL² + PM² = 6r²

c.v.d.

Il luogo dei punti P è proprio il cerchio inscritto al triangolo ABC.