Devo ammettere che mi sono stupito parecchio di ricevere  solo la risposta di Fabrizio a questo quiz, la cui soluzione non abbisogna di nessun calcolo, ma solo di un po' di ragionamento e di fantasia "creativa".

Iniziamo col dire che ABC è un triangolo equilatero e quindi ha ogni angolo di 60°. Tracciamo i segmenti AP, BP e CP. A questo punto basta eseguire una semplice rotazione di 60° del  triangolo attorno al punto C, in senso antiorario, ottenendo un nuovo triangolo che ha vertici in C, B' e A'. Ovviamente anche P viene portato in P', come riportato in Fig. 1.

I segmenti uguali sono indicati con lo stesso colore. Consideriamo il triangolo CPP'. Esso ha, ovviamente, i lati CP e CP' uguali, per cui è isoscele. Ma non solo... L'angolo PCP' è, per costruzione, uguale a 60° (PC è stato ruotato di 60°). Ne segue che il triangolo PCP' è un triangolo isoscele con l'angolo in C uguale a 60°. Gli altri due angolo devono, perciò, essere uguali e, di conseguenza, anch'essi di 60°. PCP' è un triangolo equilatero. Se PCP' è equilatero, abbiamo che PP' = CP' = CP. Ne segue che, affinché, come richiesto, si possa avere:

CP² + BP² =  PP'² + B'P'² = AP²

Il triangolo P'PA  deve essere rettangolo in P'.

Ne segue che

CP'A = 90 + 60 = 150°

Ma l'angolo CP'A è , per costruzione, uguale a CPB, per cui:

Il punto P che cerchiamo deve essere tale da formare con B e C un angolo di 150°.

Questa è già una risposta esauriente. Tuttavia, è facile aggiungere che la curva da lui descritta deve essere un arco di circonferenza, come illustra la Fig. 2

Ruotiamo di 180°  il triangolo ABC e chiamiamo O il simmetrico di A rispetto a BC. Se tutti gli angoli in P sono uguali a 150°, essi devono stare su una circonferenza il cui raggio (OC = OB = OP) è proprio il lato del triangolo equilatero. Il centro è ovviamente O.

In conclusione:

Il luogo dei punti cercato è l'arco BC  della circonferenza di centro O (simmetrico di A rispetto a BC) e di raggio pari al lato del triangolo di partenza.