24/03/18

La scala del Diavolo

Appartenente alle'insieme delle curve che Hilbert definì "mostruose", la funzione di Cantor-Vitali merita davvero il nome di "scalinata del diavolo". E' l'esempio di una curva debolmente crescente che ha derivata nulla in quasi tutti punti (chiariremo il significato di quel "quasi " più avanti). La curva cresce dal valore 0 al valore 1 senza però essere mai strettamente crescente. Nonostante questo non ha "salti" essendo una funzione continua. Inoltre trasforma un insieme di misura nulla in un intervallo! ma procediamo con calma..

21/05/17

Matematiche pure 9: Il gruppo delle curve ellittiche, parte prima.

Riprendiamo il discorso sulle curve ellittiche; nell' articolo precedente (qui), abbiamo trovato il punto all'infinito di una curva ellittica di equazione generica: ; esso coincide con il punto all'infinito dell'asse delle y; questo ci fa capire che la curva all'infinito è tangente all'asse delle y. Adesso volevo evidenziare meglio il fatto che la curva ellittica non […]

25/04/17

Matematiche pure 8): I punti impropri della geometria proiettiva

Se vogliamo parlare in modo totalmente corretto di equazioni ellittiche e di gruppi ellittici dobbiamo farlo all'interno del piano proiettivo. E' necessario introdurre il concetto di punto improprio o punto all'infinito, con una trattazione non strettamente formale, ma più che altro intuitiva.

12/03/17

Matematiche pure 7):Il campo C dei numeri complessi-Parte prima **

Per gli sviluppi delle nostre matematiche pure è necessario conoscere i numeri complessi, che forse non tutti hanno avuto la fortuna di studiare.I numeri complessi sono forse i numeri più affascinanti della matematica. Essi trovano applicazione in varie branchie della fisica (basti citare l'elettrotecnica e la meccanica quantistica). I primi scritti sicuri sui complessi sono attribuiti a Carl Friedrich Gauss (1777, 1855) la mente più privilegiata della matematica moderna.

18/02/17

Matematiche pure 6) :I campi algebrici

Per analizzare correttamente le equazioni algebriche sotto nuovi punti di vista (tipo quelle ellittiche usate da Wiles per la dimostrazione della congettura di Fermat) bisogna avere a disposizione una nuova struttura algebrica: il Campo. Nell'immagine Euclide; i suoi algoritmi sono ancora attuali perfino nelle moderne congetture matematiche.

09/12/16

Matematiche pure 5) Gruppi liberi 1/3 ***/****

Questo articolo è un po' più difficile di quelli trattati finora, richiede una buona capacità di astrazione. Vedremo come generare un gruppo partendo da un insieme qualsiasi. Qualcuno si chiederà a cosa può servire una cosa del genere.. vi anticipo solo che è fondamentale per comprendere uno dei più importanti paradossi della matematica moderna, quello di Banach-Tarski.

06/11/16

Matematiche pure 3)I gruppi della matematica moderna **/***

Continuiamo il nostra percorso nei prerequisiti fondamentali sulle matematiche pure. Dopo esserci occupati di relazioni di equivalenza, fondamentali in ogni settore delle matematiche astratte, e di funzioni biunivoche (definizione di numero cardinale) ci occuperemo di una struttura molto nota e molto usata nella matematica moderna, quella di gruppo.

26/10/16

Matematiche pure 2) :La definizione di numero Cardinale. **

In questo articolo ci proponiamo di dare la definizione di numero cardinale usando il concetto di classe di equivalenza visto nell'articolo precedente. Ne approfittiamo anche per introdurre la funzione inversa e la funzione composta di una funzione, a complemento di quanto già visto nell'articolo su corrispondenze e funzioni.