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Tags: elettroni fotoni Minkowski Minkowski per tutti quiz non quiz relatività speciale soluzione grafica velocità relative
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
Minkowski per tutti. 7: fotoni ed elettroni in movimento **
Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". La soluzione è inserita in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerla, a darla nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.
Un facile esercizio grafico che ci permette di determinare le velocità relative tra particelle (o quello che sono) tra le più agitate dell'Universo: fotoni ed elettroni. Nel riferimento in quiete sta il solito neutrone, pigro come pochi.
Il sistema di riferimento in quiete è quello del neutrone N, che meno si muove e più è felice, Ben diverso è il comportamento di due fotoni e due elettroni, Essi scappano tutti assieme dal neutrone in direzione opposta. A sinistra un fotone F1 e un elettrone E1, a destra un fotone F2 un elettrone E2. Rispetto al sistema in quiete, gli elettroni riescono solo a raggiungere una velocità pari alla metà di quella dei fotoni.
Dopo un po' di tempo l'elettrone E1 decide di valutare la velocità degli amici..
- Qual è la velocità del neutrone N nel sistema dell'elettrone E1
- Qual è la velocità dell'elettrone E2 nel sistema dell'elettrone E1
Il tutto, ovviamente, va fatto graficamente, misurando direttamente i segmenti a disposizione... basta scegliere quelli giusti.
RISPOSTA
Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR a provare, prima, da solo...)
Costruiamo la Fig. 1.
Il sistema in quiete (x,t) è quello del neutrone N, che si muove solo lungo l'asse del tempo. I due fotoni, come in qualsiasi sistema di riferimento, si muovono lungo rette a 45° rispetto all'asse t (e x), ossia alla velocità c, percorrendo un anno luce in un anno. A un certo tempo t1, il neutrone si trova in B e i due fotoni sono giunti in A e C. I due elettroni, viaggiando alla metà della velocità c dei fotoni, allo stesso tempo t1 devono aver percorso metà dello spazio percorso dai due fotoni, ossia devono trovarsi in D ed G, in modo tale che DB = 1/2 AB e GB = 1/2 CB. Tutte le rette fondamentali per la soluzione sono state tracciate. Dobbiamo solo aggiungere l'asse x' del sistema di riferimento di E1, che si ricava immediatamente conoscendo l'asse del tempo t'.
Portiamoci nel sistema di riferimento di E1. Quando lui si trova in D (a un certo tempo t'D), gli eventi simultanei nel suo sistema sono ND, ED e FD. In particolare, possiamo dire che nel tempo t'D il fotone F2 ha percorso , andando alla velocità della luce c, lo spazio DFD, misurato, ovviamente, lungo x'. Basta, allora misurare il segmento DND e confrontarlo con il tratto DFD. Come facilmente prevedibile:
DND = 1/2 DFD
Nello stesso tempo t'D il neutrone N ha percorso metà dello spazio, rispetto al fotone F2, e, quindi, la sua velocità è la metà di quella della luce (nel sistema di EF). Non i resta che misurare lo spazio percorso da E2 (DED), nello stesso tempo, e confrontarlo nuovamente con DFD. Non è difficile ricavare che:
DED = 4/5 DFD
Ne segue che la velocità di E2 rispetto a E1, nel sistema di E1, è 4/5 c.
7 commenti
Io, prima di guardare la soluzione, ho ricostruito correttamente le semirette x, t, x', t', x'', t''. In particolare, poiché gli elettroni vanno a 1/2 della velocità dei fotoni (c) , le semirette x' e x'' sono inclinate rispetto a x di un angolo pari a 45/2, essendo le semirette t=cx inclinate di 45 gradi se poniamo c=1. In pratica, ho applicato il concetto di velocità come tangente dell'angolo di inclinazione della semiretta t=vx. A prescindere dalla richiesta specifica del quiz-non quiz di procedere per via grafica, vorrei sapere se è errato quanto ho scritto sopra. Ho ancora molte incertezze sull'argomento, caro Enzone, soprattutto perché non riesco a ritagliarmi del tempo per studiarmelo sistematicamente.
dimenticavo di dire che, per la seconda domanda ho , da pelandrone, applicato banalmente la legge di composizione relativistica delle velocità, procedendo cioè per via analitica. Graficamente non avrei saputo farlo
Attenzione Artù che viaggiare a metà della c vuol dire percorrere uno spazio pari alla metà, a parità di tempo. Non confondiamo bisettrici con mediane... (se ho capito bene...).
Cerca di farlo geometricamente... è, in fondo, più semplice e serve ad avere un'idea migliore della geometria .
Dai che ce la fai benissimo!!!
Si, chiaro. In realtà, se la semiretta relativa ai fotoni è inclinata di 45 gradi, la semiretta t' relativa agli elettroni deve essere inclinata non di 22,5 gradi rispetto all'asse t, ma di un angolo tale che la tangente sia 1/2, cioè 26,6 gradi circa.
Ci provo, caro Enzone, ma devo rafforzare prima le basi
basta tirare la mediana sull'asse x tra dove arriva la luce e dove passa l'asse del tempo... senza calcolare angoli... (la prima parte) ... poi ricordiamo che ogni sistema misura le distanza sul suo asse spaziale...
Caro Enzo provo a rispondere usando una sola figura.
Innanzitutto per trovare le unità di misura del sistema dell'elettrone e1, ossia t' = 1 e x'=1, ho semplicemente usato le intersezioni tra le rette parallele agli assi t' e x' e gli assi t e x quando questi segnano 1/γ, ossia:
1/γ = √(1 – v²/c²) = √(1 – 0,5²) = 0,866.
Dopodichè, ho semplicemente tracciato la parallela all'asse x', quando l'elettrone e1 segna il tempo t'=1.
In questo modo ho trovato la distanza a cui si trovano da e' (misurata sul suo asse x', o meglio lungo la linea di simultaneità al tempo t'=1): il neutrone (Xn), l'elettrone e2 (xe) ed il fotone f2 (Xf).
Ovviamente le velocità (espresse in rapporto a quelle della luce, ossia v'/c) misurate dal sistema dell'elettrone 1 sono uguali a: V'/c = Δx'/ Δt'
Quindi per il sistema dell'elettrone e1:
Lo stesso ragionamento si potrebbe fare prendendo come riferimento l'altro elettrone, ossia il sistema dell'elettrone e2 (t'' e x'')... ed anche per lui il neutrone, l'altro elettrone ed il fotone f1 scappano alle medesime velocità trovate prima.
Spero di non aver commesso errori, ma anche usando la composizione relativistica delle velocità (per l'elettrone ed il fotone) si ottengono i medesimi risultati.
Paolo
Buongiorno a tutti!
Vi informo che il nostro Enzone zoppicone, in vista dell'operazione all'anca, in questi giorni è abbastanza impegnato per visite e analisi, quindi potrà intervenire solo saltuariamente.
Chi vuole sapere se ha risposto bene o meno, comunque, ha a disposizione la soluzione nascosta nel testo del non-quiz.