Categories: Matematica
Tags: circonferenze geometria olimpiade quiz tangenti
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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Dimostriamo la tangenza ***
Il problema che presento ha fatto parte di una prova olimpica e, sebbene utilizzi concetti ben noti a chi mastica un minimo di geometria, non è proprio banale e comporta una serie di conclusioni non così immediate da collegare tra loro. Sicuramente, come sempre d'altra parte, esistono più metodi per dimostrare la tesi, ma quello che ho seguito non comporta ulteriori costruzioni a parte quelle necessarie a descrivere il problema.
Inserirò anche la soluzione, ricordando che il vero scopo di questi quiz è anche quello di cercare di ottenere dai più esperti (tanto sono sempre solo loro a rispondere) soluzioni alternative, magari più rapide ed eleganti...
PROBLEMA
Disegniamo una circonferenza c1 e una sua corda RS che non sia un diametro. Tracciamo la retta t1 tangente alla circonferenza in R. Prolunghiamo il segmento RS fino al punto T tale che RS = ST (S punto di mezzo del segmento RT). Scegliamo un punto J qualsiasi sull'arco RS, in modo che il circocentro c2 del triangolo JST incontri la tangente t1 in due punti A e H. Prolunghiamo il segmento AJ fino a incontrare la circonferenza c1 in K e tracciamo la retta KT (t2)
Dimostrare che la retta t2 è tangente a c2 in T.
SOLUZIONE
Iniziamo dimostrando l'uguaglianza di alcuni angoli. Stabiliamo, innanzitutto, che il quadrilatero AJTS è ciclico per costruzione. Ne segue che ATS = 180 - AJS Ma anche KJS è supplementare di AJS KJS = 180 - AJS per cui ATS = KJS Ma KJS = KRS dato che angoli alla circonferenza dell'arco KS di c1. Possiamo, perciò, scrivere l'uguaglianza di tre angoli. ATS = KJS = KRS Stabilita questa importante relazione, vediamo come poter scrivere la condizione di tangenza della retta t2 alla circonferenza c2 in T. Tracciamo il segmento ST e consideriamo l'arco ST di c2. Se il suo angolo alla circonferenza SAT fosse uguale all'angolo STK avremmo dimostrata la tesi, dato che questa è una condizione di tangenza di t2 in T. Consideriamo i due triangoli AST e RKT. Essi hanno due angoli uguali (ATR e KRT) e se dimostrassimo che sono simili ne deriverebbe che anche SAT e STK sarebbero uguali, ossia dimostreremmo la tangenza. Per dimostrare la similitudine dei due triangoli basterebbe dimostrare la proporzionalità dei lati che formano i due angoli in questione, ossia: AT/TS = RT/RK Un ultimo sforzo, considerando i triangoli ART e RKS. Essi hanno due angoli uguali (RTS e KRT), ma hanno anche ART uguale a RKS, dato che angoli alla circonferenza dell'arco RS. Ne segue che: AT/RT = RS/RK Ma sappiamo che RS = TS ossia: AT/RT = TS/RK e ancora: AT/TS = RT/RK Che è proprio ciò che volevasi dimostrare!
4 commenti
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Qualche spiegazione in più... grazie!
PS
Se si potesse allegare qualche file, sarebbe più comodo.
@sprmnt21
se vuoi "allegare" un file invialo a infinitoteatrocosmo@gmail.com, lo caricherò in archivio e ti invierò un link da inserire nel commento.
Il risultato sarà come questo:
https://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2021/07/cavendish-1997-xxi-experiments-to-determine-the-density-of-the-earth.pdf