Categorie: Matematica
Tags: geometria problema killer quadrilatero di area massima trapezio
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:15
Problemi killer. 4: Un trapezio da affettare **
Questo nuovo problema è solo un po' più difficile rispetto ai primi due, ma diventa una vera "tomba" per il povero candidato che deve rispondere effettuando calcoli alla presenza di un professore che lo stimola a far presto... Voi potete prendervi tutto il tempo che volete... ma - mi raccomando - non saltate passaggi e non date niente per scontato e ovvio.
Consideriamo il trapezio ABCD. Scegliamo un punto qualsiasi K sulla base maggiore AB. Dobbiamo determinare un punto M sulla base minore CD tale da rendere massima l’area del quadrilatero intersezione dei triangoli ABM e DCK. Ovviamente, la soluzione deve essere espressa in termini dei dati conosciuti del trapezio e del punto scelto K.
Buon lavoro (spero non solo per Sprmnt21...)!
Vi preannuncio che sto finendo di preparare un corposo articolo sulla funzione di Schroedinger, in un caso pratico, accessibile a chiunque.
15 commenti
Non vorrei spaventare nessuno, ma non darei l'etichetta di semplice a questo problema.
Anzi direi che è abbastanza impegnativo.
Credo di averlo risolto geometricamente. Ma mi serve tempo per metterlo in bella.
Caro Sprmnt21,
se l'hai risolto soltanto geometricamente sei stato molto bravo, ma la parola massimo doveva far pensare a una funzione da derivare e uguagliare a zero. Il che comporta poche giustificazioni geometriche e un calcolo analitico.
Questo era l'intendimento, dato che doveva essere svolto oralmente e con poche figure da disegnare.
Sarà, perciò, molto interessante la tua versione puramente geometrica! Fai pure con comodo e spiega bene tutti i passaggi.
aggiungo... Stai diventando una pedina essenziale per i nostri problemi geometrici !!!
D'ora in poi continuerò, aggiungendo però articoli meno ... geometrici. Cerchiamo di accontentare tutti.
trapezio fatto a ... pezzi
Infatti mi sembrava troppo pretendere che si facc ia al volo per via geometrica.
Comunque ho appena fatto per via semi-geometrica (con l'uso della derivata) e mi conferma il risultato della versione geometrica
Infatti, carissimo...
per via geometrica, abbastanza semplice, si riesce a determinare la posizione di M in funzione dei dati conosciuti del trapezio. I problemi nascono quando si deriva e bisogna fare le giuste semplificazioni senza commettere errori di trascrizione. Un povero studente che deve svolgere calcoli banali, ma molto lunghi e non si può permettere nessuna svista che porti a un errore finale. Non era concessa una revisione: un errore qualsiasi voleva dire RESPINTO!
In attesa della soluzione geometrica "in bella" puoi scrivermi chiaramente il risultato in termini di posizione del punto M ? La domanda è proprio quella: dove si deve trovare il punto M?
è in una posizione tale che AK/BK = DM/CM
Il LEMMA1 spiega come si determina geometricamente M.
Il resto prova che con M cosi determinato il quadrilateto intersezione è maggiore od uguale a qualsiasi altro
Ottima soluzione... Il lemma 1 dà il risultato che poi si verifica massimizzare il quadrilatero dopo ulteriori passaggi geometrici. Scrivendo l'aerea del quadrilatero in funzione ad esempio di DM (x) basta fermarsi al lemma 1 e poi fare la derivata. Penso che entrambi siano "faticosi". Nel tuo si fatica di più geometricamente, nel mio si fatica con la derivata. Rimane, comunque, un problema ben difficile o geometricamente o nella laboriosità dei passaggi algebrici.
Se hai voglia di mettere in bella con i dovuti passaggi la tua versione sarei contento di inserirla nell'articolo di soluzione... fammi sapere se hai tempo e voglia. Grazie e ancora complimenti!
Propongo la mia versione della soluzione.
Se non ho fatto errori, il valore dell'area massima dipende solo dalle misure dei due lati paralleli del trapezio e dalla loro distanza. Non dipende dalla posizione del punto K e non dipende dalla posizione reciproca dei due lati paralleli.
posto anche la mia algebrica
caro Fabry,
se ho ben capito tu troveresti che l'area del quadrilatero è indipendente da K, ossia è una costante per ogni trapezio. La faccenda non mi convince, perché vorrebbe dire che spostando K, l'area del quad. rimarrebbe sempre la stessa, il che non è vero... Forse ho capito male...
Sì, in realtà avevo capito male... Tu trovi b1 che è proprio quanto chiedeva il problema, ossia la posizione di M in funzione di K. Che poi l'area sia sempre unica e dipendente dalle caratteristiche del problema è un'altra cosa. In pratica vuol dire che l'area massima dipende dal trapezio, ossia dato un K la relazione con M è sempre la stessa.
https://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2025/12/russok4_algebrico_puro2.pdf
Senza l'uso delle derivate