Nella serie "MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS", abbiamo visto come generare delle varietà bidimensionali in modo astratto. Riprendiamo in modo meno formale tale procedimento,estendendolo allo studio delle tri-varietà,ossia le varietà di dimensione tre,che non sono rappresentabili nello spazio tridimensionale.
Nel 1901 Un lord Inglese,filosofo e matematico,Bertrand Russel, mise in crisi il tentativo di Frege di definire le basi della matematica partendo dalla logica pura, con un paradosso arcinoto a tutti. Tale paradosso era dovuto al fatto che la teoria "ingenua" ovvero intuitiva degli insiemi non era ben fondata. Questo destò grande preoccupazione nel mondo della matematica; se gli insiemi sono alla base della matematica e sono non consistenti, allora tutta la matematica potrebbe essere non consistente, ovvero contraddittoria, e si temette anche per la teoria di Cantor. Ma vediamo perchè successe tutto ciò.Nella realtà attuale, con assiomi consistenti, il paradosso di Russel diventò un teorema.
Nato nel 1854, Poincaré fu l’ultimo genio mondiale di cognizioni scientifiche universali, non frenato da alcuna barriera disciplinare, forte d’una erudizione scientifica portentosa. Formulò quello che è stato il il quinto problema del Millennio, la congettura che porta il suo nome. Per non parlare del grosso contributo dato allo studio della relatività ristretta.
Eccoci dunque alla prima puntata della serie dedicata alla congettura di Poincaré. Per capire bene l'enunciato della congettura è necessario conoscere il concetto di "semplice connessione". Procederemo in modo intuitivo, aiutandoci con disegni e ragionamenti abbastanza pratici. Non tutti gli enunciati saranno dimostrati formalmente. D'altro canto, quanto fatto nella prima serie topologica dovrebbe essere sufficiente per comprendere a fondo questo articolo.
In questo articolo scoprirete che il piano proiettivo è tutt'altro che un piano. Analizzeremo vari modelli di questa superficie topologica che risulta ancora più complicata della bottiglia di Klein, pur avendo con essa delle affinità.
Continua il nostra viaggio nell'affascinante mondo delle superfici ottenute con il passaggio al quoziente. Riusciremo a costruire una superficie chiusa e non orientabile, la superficie di Klein. Ma a differenza di quelle viste fino ad ora,questa superficie non esiste nello spazio tridimensionale.
Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica Ci sono più modi per costruire una sfera con la topologia quoziente. Il più semplice consiste però nel fare il quoziente di un disco. Fino adesso abbiamo fatto quozienti di quadrati e rettangoli, ma nulla ci vieta di farlo di altri sottospazi topologici. Consideriamo […]
Affrontiamo oggi i primi due esempi di superfici topologiche generate partendo dal quoziente di uno spazio topologico basilare (un quadrato o un rettangolo) . Partiamo dalle superfici più semplici da generare: il cilindro e il nastro. Fra le altre cose vedremo anche immediatamente la differenza fra superfici orientabili e non orientabili, e la definizione di orientabilità.
In questa seconda parte della dimostrazione della trascendenza del numero di Nepero, imposteremo una dimostrazione per assurdo. Per adesso niente di difficile, solamente dei calcoli che coinvolgono degli integrali, ma molto semplici.
Proviamo (a piccoli passi) ad affrontare una dimostrazione della trascendenza del numero di nepero. In questa prima parte ci limiteremo al calcolo di una importante proprietà della funzione Gamma di Eulero, che sarà il punto chiave di questa dimostrazione dovuta ad Hilbert.
Volevo fare un esempio semplice per applicare gli ultimi risultati (più uno inserito al volo) alla costruzione di un omeomorfismo fra uno spazio quoziente ed un sottospazio definito da una espressione analitica. Questo ci darà un metodo generale per studiare le superfici quoziente e rapportarle a quelle dello spazio Euclideo,
Un articolo al di fuori della serie topologica, ma necessario per continuare le nostre costruzioni sul quoziente topologico. Vedremo come dimostrare che l'intervallo chiuso in R è uno spazio compatto. In realtà , la dimostrazione riguarda più l'analisi matematica che la topologia.
Lo scopo di questo articolo è quello di chiarire per bene cosa sono gli spazi quoziente, e come siano collegati ad altri spazi che conosciamo molto bene. Il collegamento è realizzato tramite il concetto più importante della topologia: l'omeomorfismo. Questo teorema diventa necessario per realizzare degli omeomorfismi fra spazi topologici derivanti da una operazione di incollatura, ovvero di passaggio al quoziente.
Non è proprio banale costruire un atlante per una varietà topologica. Per cui voglio fare un esempio "pratico", usando una varietà unidimensionale; Il cerchio è infatti una varietà topologica di dimensione 1.La scelta ovviamente è per comodità grafica e di notazioni.
In questo articolo dobbiamo sforzarci per capire bene la differenza fra "locale" e "globale"; una superficie, o più in generale. una varietà topologica, è localmente simile ad uno spazio euclideo, ma quasi sempre non lo è globalmente. Il concetto di simiglianza viene tradotto molto bene dagli omeomorfismi.
Ho lasciato passare un po' di tempo prima di andare avanti con la Topologia. E' ora di concludere con i concetti iniziali, ed affrontare nozioni più avanzate che ci porteranno alla matematizzazione del nastro.