Iniziamo, finalmente, il nostro lungo viaggio nel mondo degli integrali. Useremo due modi per definirli, per poi legarli strettamente attraverso un teorema fondamentale. Non abbiate paura, però: il discorso sarà molto semplice almeno fino alla “digestione” completa dei concetti più importanti. Riuscire, poi, a calcolare tutti gli integrali che si vorrebbero, diventa esercizio ben più arduo anche per i professionisti. Si usano vari “trucchi” e le serie ci aiutano. Ma… non corriamo. Cominciamo con qualcosa che è veramente alla portata di tutti: le aree dei rettangoli, dei triangoli e dei trapezi…
N.B.: i primi articoli sugli integrali sono comprensibili e utili a TUTTI, anche a coloro che non sono riusciti a seguire le tantissime lezioni sulla matematica. Vi invito perciò a leggerli ugualmente...
Diamo una rapida soluzione agli esercizi proposti nel capitolo precedente (39), proponendo lo sviluppo in serie e descrivendo la formula più compatta. Un bravo ai nostri (due) lettori che si sono cimentati. Bando alle ciance, è ora di buttarsi all’interno del mondo degli integrali.
In questo articolo applichiamo la serie di Mclaurin a due funzioni estremamente importanti. Di seguito trovate anche qualche esercizio…
Concludiamo la costruzione della serie di Taylor, introducendo il suo termine generale. L'ho letta e riletta, ma non garantisco che non vi sia ancora qualche refuso. Picchiate duro e non abbiate pietà di me!!
Questo non è un articolo facile, non tanto per i concetti che esprime, ma piuttosto per il numero di passaggi che siamo obbligati a fare. Si basa su un teorema classico delle funzioni e presenta perciò un metodo rigoroso, che abbisogna, però, di iterazioni successive (mai facili da digerire e da tenere sottocchio). Mi sembrava, però, doveroso proporlo.
Il gioco è quasi terminato e possiamo tornare, lentamente, verso una visione più seria e precisa. Ciò che abbiamo ottenuto, divertendoci, non è altro che una formula di importanza fondamentale.
Abbiamo iniziato una specie di gioco che sta diventando un piccolo “giallo”. Continuiamo senza preoccuparci più di tanto della visione molto empirica e poco matematica…La mettiamo velocemente alla prova.
L’approccio che cerchiamo di usare, per introdurre lo sviluppo in serie di funzioni, vuole arrivare ad approssimare una data funzione attraverso un semplice polinomio di grado n. E’ un approccio, però, che non troverete nei libri, ma che reputo oltremodo intuitivo e utile per arrivare al nocciolo del problema ed essere poi pronti a una trattazione ben più rigorosa e generale. Nel contempo, le derivate successive incominciano ad assumere un ruolo di primo piano. Divertiamoci un po’ a fare un tentativo che appare campato in aria solo a prima vista…
Anche se abbiamo concluso (almeno momentaneamente) lo studio delle funzioni, queste ultime rimangono un punto fondamentale della matematica e continuano a essere nel nostro mirino. Vogliamo arrivare al calcolo dei loro integrali e quindi cominciamo con il loro sviluppo in serie, un argomento poco divulgato che è però di importanza fondamentale.
Concludiamo (almeno momentaneamente) lo studio delle funzioni con l'introduzione degli asintoti (orizzontali, verticali e obliqui). Vi lascio anche un paio di esercizi da svolgere...
Con questo articolo concludiamo il discorso sui flessi e sulle cubiche, lavorando sulla loro forma completa. Non si deve, però, solo leggere ma anche … agire direttamente.
Per verificare che tutto sia stato compreso, facciamo un paio di esempi pratici: uno con soluzioni reali dell’annullamento della derivata prima e uno con soluzioni immaginarie. Esempi molto utili anche per chiarire meglio le idee sui flessi ascendenti e discendenti.
In questo articolo cerchiamo di soffermarci un attimo su casi particolari di cubiche, in modo da osservare come si possano avere sia flessi orizzontali che obliqui sia massimi e minimi (ma non sempre). Usiamo solo lettere per affrontare i casi particolari in modo generalizzato. In questo modo, il linguaggio matematico diventa un linguaggio a tutti gli effetti e permette da solo di descrivere il tipo di risultato ottenibile nei vari casi. Un esercizio che reputo fondamentale per diventare sempre più amici delle lettere e non solo dei numeri... Seguite i passaggi con molta calma, riflettete a lungo ed eseguite tutti i disegni che volete...
Riprendiamo (finalmente!) le lezioni di matematica da dove le avevamo lasciate (flessi obliqui). Non è stato facile riprendere il filo del discorso e può darsi che alcune cose siano già state dette in precedenza. Vi prego, perciò, di farmelo notare –se necessario- e vedremo di sistemare al meglio il passaggio dal vecchio al nuovo.
Questo è solo un preambolo estremamente riduttivo e rozzo (addirittura non del tutto esatto). Serve solo per farsi la bocca in attesa di quanto promesso a Dany e ad Alvy. Tutto gira intorno al quinto postulato di Euclide, quello delle rette parallele. Ma per discuterne a fondo e per applicarlo alla fisica dell’Universo è necessario fare un lungo percorso storico e matematico. Fin dall’inizio, però, capirete bene perché il nostro “circolo” (e il libro precedente) si chiama Infinito TEATRO del Cosmo.
Vi chiedo perdono per due motivi. Innanzitutto, perché il problema fisico (ma anche matematico) è di estrema semplicità. Inoltre, perché ho scritto un articolo di risposta assurdamente lungo per ciò che si chiedeva. Spero, però, che serva a fare un bel ripasso di derivate e limiti…