Ho inserito tre asterischi in questo articolo (o lezione). Non spaventatevi, però. Esso non contiene formule difficili o passaggi acrobatici. Il fatto è che richiede concentrazione per capire esattamente il concetto di limite e le sue applicazioni. Non leggetelo, perciò, velocemente, ma cercate di entrare dentro il mondo di Achille e della tartaruga, facendolo veramente vostro.
Un’appendice alla gara di Achille e della tartaruga. Cerchiamo, infatti, di risolvere la questione in modo puramente matematico (nonché geometrico) in modo da rendere giustizia alla visione fisica che Zenone aveva cercato di nascondere sapientemente.
La definizione di punto non ci lascia più scampo. Affidiamoci alle mani amorevolmente “matematiche” del limite. E non spaventiamoci se sono necessarie molte parole per descrivere ciò che la matematica sa riassumere in una semplicissima scrittura.
Qualcuna/o dirà: “No… aiuto! La trigonometria no… non l’ho mai digerita!”. Mi spiace per lei/lui, ma non possiamo farne a meno. E poi perché tanta paura? Anche lei nasce molto facilmente dal celebre triangolo rettangolo tanto caro a Pitagora e permette di capire il significato più profondo di certi numeri che sembrano essere solo numeri, ma che sono, invece, qualcosa di ben più importante. Chiedetelo alla cinematica, alla dinamica e a tutta la fisica…
E’ giunta l’ora di introdurre le prime funzioni. Cominceremo dalla più semplice, ma vedrete che sarà più che sufficiente per farci chiacchierare molto a lungo e per capire meglio il concetto di infinito.
Ci siamo costruiti un sistema di riferimento semplice e utilissimo. Vedremo subito come utilizzarlo. Prima inseriremo nuove stazioni un po’ dappertutto e, chiamandole con le loro coordinate, sapremo trovarle immediatamente. Poi inizieremo a costruire monorotaie sempre più complicate. La matematica diventerà l’unico linguaggio in grado di aiutarci nella loro “sistemazione” nella rete ferroviaria, ossia nel piano del foglio.
Questo articolo è, in realtà, un piccolo libro o manuale che dir si voglia. Cerca di sintetizzare l’algebra che può essere più utile per affrontare i problemi dell’analisi matematica, ossia studio di funzioni, limiti e derivate. Probabilmente ho dimenticato qualcosa. Tocca a voi farmelo presente e incitarmi a spiegare meglio certe parti. E’ difficile distinguere ciò che è ovvio per tutti da quello che, invece, non lo è. Non pretendete, però, che descriva tutta l’algebra. Ci vorrebbe davvero un libro… non esageriamo!
Mentre andiamo avanti con la matematica e con i concetti un po’ astrusi di zero e infinito, vorrei tenervi “svegli” e proporvi qualche piccolo gioco di prestigio. Il primo si riferisce a una delle somme più facili che esistano, uno più uno, il cui risultato è probabilmente conosciuto anche dai bambini dell’asilo. Ma siamo proprio sicuri che sia così? Ah… questa matematica, ci riesce a sorprendere sempre!
Dopo esserci lanciati nelle strane piroette compiute da zero e infinito nel cercare di eseguire, tra di loro, le operazioni aritmetiche di base ed esserci accorti che non sempre tutto risulta banale e scontato (anzi…), facciamo un grande passo indietro. Abbiamo imparato a conoscere questi due concetti e/o punti e/o numeri così particolari. Ora possiamo cominciare proprio dall’inizio. Per far ciò costruiamo una rete ferroviaria di riferimento. E ci vorrà molto prima di lasciarla… I primi articoli di questo tipo saranno fin troppo banali per chi ha studiato analisi matematica. Vi prego di avere pazienza… e poi c’è sempre qualcosa da imparare, quando si parla di geometria e di matematica.
Un mix di nozioni che vanno dalla rappresentazione geometrica di un binario ferroviario a quella “leggermente” più complicata di un Universo in espansione. In comune vi è un punto, che nel primo caso possiamo chiamare punto all’infinito, nell’altro caso Big Bang (anche se quest’ultimo si trova in una posizione temporale ben definita). Quest’articolo, un po’ strano, ci permette di capire meglio il piano ampliato e la natura di un punto singolare. Ci serve anche per vedere che eccezionale applicazione pratica viene fornita da una matematica a prima vista astratta e -forse- visionaria. Insomma, Alice è tornata tra di noi.
Proviamo ad affrontare operazioni un po’ più difficili, addirittura la moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza! No, non ridete. Quando si maneggiano numeri “strani” come infinito e zero le cose non sono mai semplici e regalano molte sorprese. Anzi ci porteranno davanti a un muro che ci obbligherà ad accettare un nuovo approccio.
Abbiamo introdotto i concetti geometrici di zero e infinito. Possiamo ora trasportarli lentamente nel mondo della matematica attraverso le operazioni più semplici che essi possono eseguire tra di loro e con numeri qualsiasi. Insomma, facciamoli entrare nel mondo di tutti i giorni.
Ho cercato il modo migliore per introdurre due numeri (o -meglio- concetti) fondamentali per la matematica, la geometria e la fisica. Ho trovato varie possibilità, anzi potrei dire che ne ho trovato infinite. E, allora, mi sono fermato se no rischiavo di mordermi la coda (che non ho… ve lo giuro!). Ho quindi deciso di agire a modo mio. L’importante è che alla fine si riesca a comprendere con chi abbiamo a che fare.