Nov 16

4. Sistemiamo la rete ferroviaria *

Dopo esserci lanciati nelle strane piroette compiute da zero e infinito nel cercare di eseguire, tra di loro, le operazioni aritmetiche di base ed esserci accorti che non sempre tutto risulta banale e scontato (anzi…), facciamo un grande passo indietro. Abbiamo imparato a conoscere questi due concetti e/o punti e/o numeri così particolari. Ora possiamo cominciare proprio dall’inizio. Per far ciò costruiamo una rete ferroviaria di riferimento. E ci vorrà molto prima di lasciarla… I primi articoli di questo tipo saranno fin troppo banali per chi ha studiato analisi matematica. Vi prego di avere pazienza… e poi c’è sempre qualcosa da imparare, quando si parla di geometria e di matematica.

Premessa

Finora non sono stato proprio semplicissimo, dato che ho affrontato concetti un po’ fuori dalla realtà quotidiana o -quantomeno- apparentemente fuori da essa. Vi ho fatto giocare con ciò che “appare” e non con ciò che “è”. Ho preferito operare così per imprimere già bene nelle menti che il piano "normale" può essere “ampliato” e che si può trattare con zero e infinito come se fossero numeri “quasi” comuni.

L’avverbio “quasi” è  d’obbligo, dato che non siamo riusciti a risolvere tutte le operazioni che li hanno visti primi attori. Questo risultato “negativo” ha avuto un doppio scopo: 1) prendere coscienza che per lavorare in tutto il piano ampliato è necessario imparare qualcosa di diverso o -quantomeno- utilizzare un approccio speciale; 2) immagazzinare alcuni concetti non banali quando si è ancora a “mente fresca” e non dopo che la matematica ci avrà già condotto verso schemi apparentemente rigidi e ripetitivi. Il passaggio a concetti troppo diversi potrebbe creare confusione. L’importante è che quando “sfioreremo” l’infinito e/o lo zero sapremo già con chi abbiamo a che fare e non ci spaventeremo più.

Ricordiamo, inoltre, che le varie operazioni svolte con i nostri due "strani" amici hanno, comunque, un valore simbolico. Quando scriviamo zero intendiamo un numero piccolissimo e quando scriviamo infinito intendiamo un numero grandissimo. Per semplificare, abbiamo inserito un simbolo invece di tante parole. Tra un po' capiremo meglio questa fondamentale differenza.

Molti di voi, che hanno studiato analisi matematica (ma anche molto meno) a scuola, si sentiranno, forse, presi un po’ in giro. Tratterò concetti di uso ormai comunissimo in modo estremamente lungo ed elementare. Vi prego di accettare queste banalità senza partire prevenuti e dire: “Posso saltare questa parte, la conosco perfettamente!”

Vi racconto un piccolo aneddoto che ho vissuto in prima persona quando frequentavo Analisi I con il grande Prof. Buzano. Venivo dal Liceo Scientifico e pensavo di sapere ormai abbastanza bene cosa fosse lo studio delle funzioni, dei limiti e delle derivate. Questa fantastica persona iniziò, invece, il suo corso parlando, per molte lezioni, di apparenti banalità che nemmeno sembravano legate alla matematica. Si soffermò, quasi con pedanteria, sul concetto di quantità piccola e piccolissima; si accanì sul significato di ogni singola parola di frasi del tipo “Dato un epsilon piccolo a piacere, esiste sempre un numero tale che…”, ecc., ecc..

Devo ammetterlo: pensai di avere sbagliato aula e di essere entrato in quella di filosofia o di grammatica italiana. Cosa c’entrava tutto ciò con la matematica e con la sua analisi? Perché non si cominciava con quello che già sapevamo e si andava avanti verso nuove  e stimolanti emozioni? Forse avrei potuto saltare quelle lezioni e ritornare quando si fosse arrivati al vero inizio. Spesso le lunghe prefazioni mi stufano e preferisco saltarle. Avrei fatto un errore terribile!

Tutte quelle frasi banali, ripetitive, ovvie, acquistarono lentamente un valore ben diverso e fondamentale. Solo dopo averle digerite perfettamente, capii il loro vero significato: quello di affrontare tutta la matematica, anche la più complessa, sempre e soltanto con la logica e mai con la memoria. Ogni volta che si affrontava un  nuovo teorema o si svolgeva un’operazione da trapezista, mi tornavano in mente e mi davano la forza e la capacità di affrontarle con tranquillità e sicurezza. Bastava iniziare a ragionare con frasi del tipo: “Dato un epsilon piccolo a piacere, esiste sempre…” e tutto diventava logico e intuitivo.

In queste “lezioni” cercherò di fare lo stesso (anche se non ho certo le capacità del grande Buzano). Fidatevi e non tralasciate niente. Anzi, più un concetto vi sembrerà banale e più analizzatelo nei dettagli e fatelo completamente vostro. Vi verrà sicuramente utile nei momenti più difficili e vi farà apparire la matematica come un gioco magnifico, sempre uguale e sempre diverso.

Abbiamo fatto non poca fatica a immaginarci un punto, una retta e un piano all’infinito. Per far questo, abbiamo dovuto ammettere che le rette parallele si incontrano sicuramente in un punto, anzi definiscono proprio il punto all’infinito corrispondente. Ci siamo “divertiti” con le operazioni tra questo “infinito”, rappresentato come simbolo e/o come numero, e un altro punto e/o numero che sembrava molto più semplice e ovvio, lo zero.

Invece, anche lo zero è diventato qualcosa di meno “concreto” del previsto. Un punto senza dimensioni implica un concetto altrettanto complicato di un qualcosa che è talmente grande da non poter essere quantificato. Abbiamo visto, infine, che certe operazioni, banalissime  per qualsiasi numero, diventano a prima vista impossibili o -meglio- forniscono un risultato talmente incerto da essere classificato come indeterminato. E questa parola sembra veramente assurda in matematica!

In mezzo a questa visione geometrica e numerica, che sembra, a volte, rasentare la MQ, si è fatto strada un concetto importantissimo: quando si parla di infinito (ma anche di zero, in fondo) bisogna iniziare a usare un verbo diverso. Non più “essere uguale a”, ma “tendere a”. Questo modo di pensare è nato quasi automaticamente con l’uso di una rotaia e di una pianura enorme (direi quasi… infinita!).

Sembrerebbe, quindi, più che ovvio procedere e capire bene il significato di questo nuovo verbo. E, invece, no. Sono proprio cattivo! Vi ho fatto intravedere un bel gelato, che potrebbe risolvere quelle operazioni molto strane che non siamo riusciti a fare, e ora preferisco farlo sciogliere! No, non voglio farlo sciogliere, voglio solo metterlo al sicuro in freezer.

Scegliamo la stazione centrale e le linee ferroviarie più importanti

Torniamo, allora, ai nostri binari e vediamo di costruire un’intera rete ferroviaria. Ed è meglio cominciare proprio dall’inizio per non rischiare di creare incidenti anche gravi. Quando saremo capaci di rappresentare binari di qualsiasi forma e sapremo trattarli con grande sicurezza, potremo anche ritornare ai loro punti all’infinito. Cominciamo, perciò, a costruire la prima stazione e a immaginare tutti i tipi di percorso possibili (quasi tutti…) delle rotaie della rete ferroviaria. Perché allora vi ho tartassato con quel maledetto infinito? Proprio perché voglio saper descrivere i binari dovunque e in qualsiasi condizione. La nostra ferrovia non si deve fermare dietro l’angolo, ma deve poter raggiungere qualsiasi luogo, sia che sia uno zero sia che sia un infinito.

Facciamo anche un’altra operazione: alziamoci in volo, in modo da vedere il deserto o la pianura dall’alto. In tal modo i binari arrivano molto più tardi all’infinito (allarghiamo l’orizzonte, come si nota bene attraverso la Fig. 9). Anzi, pur mantenendo le idee acquisite su punti all'infinito, cerchiamo di dimenticare quegli effetti visivi delle rette parallele che si incontrano. Insomma, torniamo nel mondo reale, dove le rette parallele sono e restano parallele. Ci sarà sempre tempo di portarci verso il piano ampliato, dato che ormai sappiamo che c'è.

Fig. 9
Figura 9

Inoltre, per semplificare ancora di più la trattazione (non essendo ferrovieri esperti), consideriamo dei binari molto particolari. La distanza tra le due rotaie la consideriamo nulla, ossia pari a zero. Ciascuna linea ferroviaria può quindi essere considerata una linea unica. In altre parole, imitiamo i giapponesi (ma non solo) e costruiamo tante monorotaie. Saremo sempre in tempo a rimettere le cose a posto se veramente lo vorremo (ma non credo proprio). Non ditemi: “Ma, allora, sparisce il punto all’infinito”. No, lui continua a esserci, alla fine della monorotaia, anche se non riusciamo a renderlo evidente come prima. Adesso, però, non abbiamo più bisogno di “vederlo”, dato che sappiamo che c’è e dov'è.

Torniamo al nostro titolo, che non è stato scelto a caso: “sistemiamo la rete ferroviaria”. La rete ferroviaria l’abbiamo già trattata e rappresenta l’insieme di tutte le linee possibili (ferroviarie o no). Cosa vuol dire sistemare? Creare un sistema, un qualcosa che ci permetta di definire al meglio le nostre linee e che ci permetta di riferirle a qualcosa di fisso e di oggettivo.  Il nostro primo sistema di riferimento è quello basato sulle coordinate cartesiane. E’ sicuramente il più semplice per definire l’intero piano della rete ferroviaria (immaginiamo di lavorare solo nel piano delle figura,  sulla pianura o deserto, ma si potrebbe benissimo descrivere anche lo spazio a tre dimensioni).

Innanzitutto, abbiamo bisogno di una stazione principale, a cui fare sempre riferimento. Questa stazione la chiamiamo origine O. Anche se non tutti i treni passeranno da lei, dovremo sempre fare riferimento alla sua posizione: un “punto”, un posto sicuro e sempre rintracciabile. Come possiamo disegnare questa stazione tanto speciale? Nel modo più semplice: proprio come un punto geometrico, immaginando veramente che non abbia dimensioni. Sì, lo so, qualsiasi punto disegnato su un foglio acquista subito delle dimensioni (anche se piccole). La matita fa quello che può. Tuttavia, facciamo uno sforzo di immaginazione e assumiamo che le sue dimensioni siano veramente trascurabili, ossia tendano veramente allo zero. D’altra parte, se riuscissimo a usare una matita a punta finissima, tale da non lasciare segno sul foglio, non riusciremmo a vedere il punto e non sapremmo come proseguire.

Chi ha letto il libro Flatlandia sa benissimo che questo è un problema veramente irrisolvibile se non attraverso qualche “escamotage” grafico. Comunque lavori la nostra matita, però, teniamo bene a mente con chi abbiamo a che fare. Per cui, assumiamo che le sue dimensioni siano veramente lo zero teorico. Non dobbiamo fare una grande fatica. E’ inutile sprecare una figura per disegnare un punto che, oltretutto, dovrebbe essere invisibile e andiamo avanti. Comunque, sui problemi del punto interverremo molto presto. Non si può sempre considerarlo esistente e inesistente. Dovremo utilizzare qualche "trucco" davvero speciale

Una stazione, però, non serve a niente, se non ci sono dei binari. Tracciamo, allora, due monorotaie estremamente semplici e ovvie. Una orizzontale e una verticale. Ovviamente, essendo le prime, le facciamo passare per il punto origine. In questo modo il nostro punto è facilmente individuabile come intersezione dei due binari.

Consideriamo, prima, quella orizzontale. Potrei dirvi anche come costruirla. Dovremmo mettere uno accanto all’altro tantissimi punti fino a formare una linea retta. Ovviamente, dato che i punti non hanno dimensioni, non riusciremmo mai a disegnare una linea. Ma, ormai, il gioco lo conosciamo e ammettiamo nuovamente che la linea si possa realmente vedere e disegnare. Il che vuol dire che abbiamo messo vicini tantissimi punti, ma così tanti che potremmo dire che sono infiniti… Gira e rigira, questo benedetto infinito torna sempre in ballo. Anzi, abbiamo imparato una cosa in più: esiste un infinito "geometrico" (quello delle parallele che si incontrano) e uno "matematico" (quello formato da numeri sempre più grandi di qualche cosa). Ovviamente, sono la stessa cosa, rappresentata in due modi diversi.

Ebbene sì. Una linea altro non è che un insieme di infiniti punti a contatto tra loro. Così è la nostra linea ferroviaria orizzontale. Vi prego di non farmi una domanda che potrebbe essere anche logica, ma che trascende la matematica semplice: “Se è composta da tanti (infiniti) punti senza dimensione, nemmeno lei dovrebbe avere dimensioni”. Potrei rispondervi facilmente, dicendo che infinito per zero NON è uguale a zero, ma è una forma indeterminata (ricordate?). Tuttavia, permettetemi di sorvolare e di considerare reale e ben visibile la nostra retta-monorotaia. Basta considerarla composta da punti come quello dell'origine.

La possiamo disegnare da un lato all’altro del foglio. Il foglio, però, finisce, ma non la retta. Meno male che ne abbiamo parlato nei primi articoli! Anche senza disegnare tutta la retta possiamo dire che sia a destra che a sinistra essa va fino all’infinito. Anzi faremo di più. Questa retta deve passare per l’origine (l’abbiamo fatta passare noi!) e allora possiamo dare un  “segno”  diverso al binario di destra e a quello di sinistra, rispetto all’origine.  Perché lo facciamo? Beh… molto semplice: per sapere da che parte va il treno. Se, dopo la partenza, va verso destra diremo che va in verso positivo e la parte di retta corrispondente (semiretta) rappresenta la parte positiva della linea ferroviaria orizzontale. La parte di sinistra è invece quella negativa. Fermiamoci un attimo a questo punto e cerchiamo di passare dalla geometria alla matematica.

Abbiamo visto che la retta è formata da punti, anzi da infiniti punti. Non possiamo certo segnarli tutti, ma possiamo sempre indicare ogni tanto i millimetri, i centimetri, i metri, i chilometri o quello che volete, percorsi dal treno lungo il suo viaggio. Un po’ come le indicazioni stradali che ci dicono quanti chilometri abbiamo percorso dall’inizio di un’autostrada. Indichiamo questi punti con dei numeri, pari alla quantità di millimetri, centimetri, metri, chilometri percorsi fino a lì. Associamo, quindi, a ogni punto della retta orizzontale un numero. In realtà ne segniamo solo uno ogni tanto, magari equidistanti, ma possiamo ricavare subito anche quelli non segnalati.

Essi ci forniscono anche la “scala” della nostra ferrovia. Non possiamo, infatti, pensare di disegnare la ferrovia com’è in realtà. Dobbiamo ridurne le dimensioni, farne un modellino. L’importante è però sapere che ciò che nel disegno vale 1 cm è, ad esempio, equivalente a 1 o 10 o 100 km nella ferrovia reale. Vicino alla linea orizzontale scriveremo quindi l’unità di misura che si sta scegliendo. Ovviamente, i numeri associati ai punti della parte destra della linea orizzontale saranno positivi, quelli di destra negativi.

Dove finiscono le due semirette? Sicuramente all’infinito e quindi, anche senza disegnarli, sappiamo che a destra si arriva a + ∞ e a sinistra a - ∞. O -ancora meglio- la retta tende a + ∞ e a - ∞. Bel lavoro, non c’è che dire.

Chiamiamo questa linea ferroviaria, così definita, asse delle ascisse. I numeri associati ai punti che stanno su di lei sono chiamati, appunto, ascisse (il nome vuol dire letteralmente “tagliata”, ma non è chiaro perché è stato dato a questa linea… forse perché il segnare un punto su di lei vuol dire “tagliarla”… mah…). Per completare la rappresentazione, invece di indicare sempre il segno + e il segno -, inseriamo una freccia al termine della parte destra, quella positiva. Mi chiederete perché, dato che il + è sempre dalla parte destra. Beh… a volte si può anche ruotare il foglio, ossia guardarlo da una parte diversa, e noi vogliamo sempre ricordare qual’era il verso positivo originale. Ma, per adesso, non preoccupiamoci…

Come vi avevo già detto, abbiamo bisogno anche di un’altra linea retta (la seconda monorotaia di riferimento). Non è difficile costruirla. Anch’essa deve passare per l’origine (l’intersezione di questa e dell’asse delle ascisse è proprio l’origine O), ma è perpendicolare a quella di prima, ossia è una retta verticale. In parole povere, le due monorotaie formano un angolo retto tra di loro. A questa nuova retta viene dato il nome di asse delle ordinate e ai valori associati ai suoi punti quello di ordinate (il nome deriva dal fatto che i numeri sono ordinati su di lei. Forse essa è “nata” per prima e l’asse delle ascisse si chiama così perché la “taglia”. Boh… scegliete voi ). L’asse delle ordinate funziona come quello delle ascisse, solo che la sua parte positiva va verso l’alto e quella negativa verso il basso. Analogamente, il suo punto positivo all’infinito è in alto (dove mettiamo anche la freccia) e quello negativo in basso. L’insieme di ascisse e ordinate prende il nome di sistema di coordinate cartesiane.

Per sintetizzare  i nomi ascissa e ordinata, si indica, normalmente, la prima con x e la seconda con  y. A questo punto possiamo disegnare il sistema cartesiano nella Fig. 10.

Fig. 10
Figura 10

Bene, bene. Abbiamo la nostra stazione “centrale” e due percorsi estremamente semplici e indicativi: uno orizzontale e uno verticale. E’ un po’ come se avessimo cominciato a costruire una città romana, con il cardo e il decumano, partendo dal foro. In realtà, non è una battuta, ma nell’antichità ci si basava proprio su questo schema geometrico semplice ma efficientissimo.

E’ venuto il momento di lasciare da parte stazioni e ferrovie. Possiamo ormai parlare liberamente di assi delle ascisse e delle ordinate, di  x e y, di verso positivo e negativo, di punto origine che ha ascissa x = 0 e ordinata y = 0 (per definizione). Che c’è? Vi siete stupiti di quest’ultima affermazione? Piano, piano, è facilissimo arrivarci. Lui è proprio l’inizio, la divisione tra positivo e negativo, ossia lo zero. Quindi in esso, x = 0. Ma lo stesso punto è anche l’inizio dei versi positivi e negativi delle ordinate, quindi vale anche y = 0. Dato che il punto O è proprio un punto (o almeno lo consideriamo tale) possiamo tranquillamente assegnargli un numero “speciale” come lo zero. Non avendo dimensioni, la x e la y di quel punto possono proprio essere considerate 0,0000000000…. finché volete!

Prima di concludere questa parte facciamo ancora un passetto in avanti, basandoci solo sulla logica di ciò che abbiamo imparato finora. Il punto O ha coordinate (x,y) uguali a 0. Domanda che quasi mi vergogno a fare? Che ascissa avranno TUTTI i punti, sia positivi che negativi dell’asse y? E che ordinata avranno TUTTI i punti dell’asse x? Lascio a voi la risposta… tanto ci torneremo sopra.

 

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30 commenti

  1. Mario Fiori

    Ritorno alle scuole medie e, in aprofondimento, alle superiori. Che bello Enzo, la Geometria Analitica e che insegnante! Per ora tutto facile Enzo ma da ora in poi? Sotto con i compiti a casa! E stiamo attenti a scuola...guarda quì coincidano, che bello. :lol:

  2. caro Mario,
    la tua emozione mi contagia...  :-P
    quello che spero è di rimanere allo stesso livello di semplicità fino ai limiti, alle derivate, agli asintoti, agli integrali... e chissà dove...
    Una sfida a 70 anni? E perché no! E grazie a voi!!!!!!! :-P

  3. Andrea I.

    Eccolo li il punto 0, il famigerato "osservatore" che mi precludeva la piena comprensione del -∞ :mrgreen:
    Queste lezioni stanno diventando il mio appuntamento preferito......non vedo l'ora di scoprire cosa ci sará da imparare nella prossima puntata! :wink:

  4. Gianluca Paone

    non vedo l'ora di arrivare ai limiti ed alle derivate. Un bellisimo ripasso. Non ricordo quasi più nella di quello che ho studiato sui limite e sulle derivate ma mio rammarico ricordo di averle odiate, applicate ma mai capite veramente.

    Continua così, mi sento finalmente coinvolto dalla matematica. 

  5. Supermagoalex

    Caro Enzo, arriveremo anche agli integrali  :?:

  6. Beh... non sarà sempre così facile, ma spero che cambi di molto poco... Ce la metterò tutta.

    Le derivate dovranno arrivare come una banale conseguenza... 

    Se tutto va bene (e non sarete ultra stufi) perché non introdurre anche gli integrali? In fondo sono solo l'inverso della derivata e possono essere considerati una semplice somma...

    Grazie ragazzi per seguirmi così attivamente!!! :mrgreen:  

  7. beppe

    Cartesio il ferroviere!! Che fantastica trovata! 
    Ho un debole per la matematica, spiegata da te diventa stupenda!! :mrgreen: :mrgreen:
    Ti seguo a spizzichi per impegni di lavoro, ma quando posso ti leggo sempre volentieri.. :wink:  

  8. Supermagoalex

    Mi ricordo che ai tempi dell'università me li ero studiati da solo, e non avevo incontrato grosse difficoltà in quanto alle superiori avevo imparato molto bene limiti e derivate.
    Ora ovviamente è buio totale, ma quando ci arriveremo spero che il cassetto dei ricordi si apra senza troppi problemi :)  

  9. foscoul

    E' un piacere :-P
     

  10. alexander

    D"omanda che quasi mi vergogno a fare? Che ascissa avranno TUTTI i punti, sia positivi che negativi dell’asse y? E che ordinata avranno TUTTI i punti dell’asse x? Lascio a voi la risposta… tanto ci torneremo sopra."

    Domanda semplice per te mica per noi!   :-D :-D :-D
    Comunque se non l'ho interpretata male e se non ho dimenticato le lezioni di scuola mi verrebbe  da dire: (y;0) e (x;0) oppure dato che si parla anche dei punti negativi devo usare anche il -?

  11. caro Alexander,
    la tua risposta è molto sibillina... cosa vuol dire (y;0) e (x;0)? Sono punti o cosa? Ti pregherei di rispondere alle domande in modo preciso... "Che ascissa avranno...." e poi "che ordinata avranno tutti...." Due domande che necessitano una risposta telegrafica. Ovviamente vale per tutta la retta, sia a sinistra che a destra sia sotto che sopra...

  12. Mario Fiori

    infinita?

  13. eh no, caro Mario...
    pensaci bene. Prendi un punto qualsiasi sull'asse delle x (o delle y). Che coordinate deve avere? Una è ovviamente qualsiasi (dato che bisogna descrivere tutta la retta), ma l'altra deve essere sempre ......!!

  14. alexander

    be enzo, io mi ricordavo che in un piano cartesiano se io volevo individuare un punto qualsiasi dovevo dare le coordinate x e y andando a costituire una specie di sistema di riferimento che si indicava con (x;y)
    A questo punto avevo pensato che se volevo indicare tutti i punti infiniti presenti sy Y (il cui insieme  costituisce appunto la  retta Y) mi bastava dire che (y;o) dove  y erano l'iniseeme di tutti i punti su y e 0 era il valore della retta x.
    X doveva avere per forza il valore zero perchè zero è l'unico punto in cui esse si incrociano...

  15. Andrea I.

    entrambe tendenti allo 0 8)

  16. scusa Alexander,
    ma avendo chiesto che ascissa dovevano avere... non capivo perché avevi scritto un punto. Comunque,adesso ho capito... Beh a me bastava che si dicesse: tutti i punti che appartengono all'asse y devono avere l'ascissa uguale a zero e viceversa per l'asse x. Oltretutto, il punto generico si indica con P(x,y), dove per prima c'è sempre la x e per seconda la y: ecco perché non capivo la tua scrittura (y;0)...

    Diciamo allora, che hai ragione... nel senso che tutti i punti dell'asse y devono avere la forma P(0,y) e quelli dell'asse x, la forma Q(x,0).

    Scusa se non avevo inteso la tua risposta. Comunque, in matematica bisogna essere sempre molto precisi.

    Ad esempio, cosa intendi per: "dove y erano l’insieme di tutti i punti su y e 0 era il valore della retta x."?

  17. Ok Andrea! Però è meglio non dire che tendono allo zero. In questo caso, dato che i punti dell'asse sono esattamente punti e non valori a cui tende qualcosa. Sarebbe invece diverso se fosse una funzione che ha un punto sull'asse x (o y). In quel caso avrebbe senso dire che tende a zero per un certo valore dell'altra coordinata che tende a qualcos'altro. Comunque, ne parleremo diffusamente tra un paio di articoli.

  18. alexander

    no no hai ragione te, ero io ieri notte che morivo di sonno e non avevo letto bene la domanda!
    Alla domanda che hai fatto ora provo a rispondere questa notte se riesco, ora devo portare il bimbo a passeggio!  :)
    cmq in questo articolo lo zero è proprio zero vero? non c'è come dice andrea il discorso del tendere a zero o sbaglio? 

  19. hai ragione.. Andrea,
    In questo caso l'ascissa e l'ordinata sono proprio zero per definizione di assi cartesiani. Così come l'origine è proprio O(0,0) e un punto è proprio P(x,y). Essi rappresentano effettivamente un punto con tutte le sue ambiguità. Diverso sarà cercare di arrivare in quel punto... Ma ne parleremo a lungo... :wink:

  20. alexander

    eccomi, finalmente ho di nuovo qualche  minuto per ricollegarmi.
    Grazie mille per  la puntalizzazione di come si scrive un qualsiasi punto qualsiasi sull'asse delle Y  e cioè P(0;Y).
    In effetti non mi quadrava tanto come avevo scritto io: (Y;o)
    Pensandoci adesso dopo la tua spiegazione è come se in una frase in italiano non avessi messo l'oggetto! :-D
     Anche la frase che mi hai evidenziato è effettivamente scritta malissimo:
    "“dove y erano l’insieme di tutti i punti su y e 0 era il valore della retta x." 
     Zero non è il valore della retta X ma una coordinata che aiuta ad identificare un putno, nello specifico un punto in cui l'ascissa (X) = 0. 

    Comunque avevi detto che l'articolo era molto semplice.
    E' vero però porta con se  trappole che mi spaventano parecchio.
    Negli articoli precedenti avevi introdotto infinito e  zero in termini prosettici e irraggiungibili.
    Qui invece si parla di punti senza dimensione (quindi di dimensione zero) come realmente esistenti e , come facevi notare,  si passa anche al concetto di infinito quando si dice che le rette sono costituite da infiniti punti a distanza vicinissima tra loro.
    Peccato che questi stessi punti hanno dimensione! zero.
    Insomma infinito e zero sono veramente brutte bestie! :-o
    Sarebbe comodo adottare una interpretazione simile alla MQ,dire che zero e infinito sono contemporaneamente raggiungibili e non raggiungili...   :-P

  21. caro Alexander,
    hai colto nel segno. Zero e infinito (ma soprattutto quest'ultimo) sono proprio qualcosa di irraggiungibile (come, però, in fondo anche tutti i punti intesi matematicamente, dato che non hanno dimensioni). E' quindi una lotta tra matematica (che li vuole irraggiungibili e la fisica che li vuole concreti). Una lotta che non avrebbe vincitori dato che la fisica ha le sue dimensioni insormontabili (che sia il quark o la grandezza di Planck o quello che vuoi), mentre la matematica può sempre scendere sotto qualsiasi dimensione. Ho perso molto tempo a mettere in evidenza questo continuo scontro proprio per fare accettare come INSOSTITUIBILE l'introduzione del limite di una funzione. Il limite non è la MQ, ma gli si avvicina molto... Insomma, attraverso concetti che sono dati solitamente come cose da accettare rapidamente per la loro apparente semplicità, cerco di non perdere di vista la problematica tra fisica e matematica. Il limite diventerà proprio la soluzione dei nostri guai.
    Posso dirti che ho già le bozze pronte che sarebbero a un passo dal significato di derivata. In poche lezioni ci si può arrivare, concettualmente.
    Tra poco vi inserirò un quiz quasi "diabolico", che metterà ancora più in evidenza questi piccoli mostri che sono zero e infinito...

    Spero che alla fine la matematica acquisti il suo ruolo fondamentale e assolutamente divertente e in grado di dare il via a mille giochi imprevisti e imprevedibili. 

    :mrgreen:  

  22. Andrea I.

    Personalmente lo trovo un giochetto mentale molto simpatico :mrgreen:
    In pratica le coordinate che enzo ci ha chiesto hanno valore 0 solo perché siamo noi che gli attribuiamo quel valore per comoditá, creando un nostro 0 "virtuale".
    Il problema é che per avere veramente un valore 0 "reale" dovremmo fissare un foglio bianco e sarebbe impossibile capire le coordinate :mrgreen: 
    Mi fa tornare alla mente la discussione su cosa fosse il nulla che c'era "fuori" dall'universo. Forse non riusciamo a raggiungerlo veramente perché non puo esistere nel nostro universo :mrgreen:

  23. caro Andrea,
    sei entrato perfettamente nella logica del nostro scopo. Un gioco che ci pone di fronte a interrogativi e dubbi, ma che ci tiene sempre in tensione su quello che succederà dopo. Un'avventura emozionante e sempre divertente, anche se ha la necessità di far lavorare la nostra mente...

  24. gioyhofer

    Ciao Enzo, sono rientrata oggi da un week-end dedicato alla cometa Ison... Bellissima, speriamo mantenga le aspettative.
    Venendo alla domanda dell'articolo, da quello che mi ricordo dalla scuola se dobbiamo indicare un punto sull'asse delle ascisse si da un valore che sia per esempio x=5 e y=0; viceversa per indicare un punto sull'asse delle ordinate y=5 x=0. 
    Quindi tutti i punti dell'asse x avranno come ordinata 0, i punti dell'asse y come ascissa anch'essi 0.
    è corretto?
    Giorgia 

  25. perfetto Giorgia!!!

    per la Ison incrociamo le dita e speriamo che l'otburst non sia dovuto all'inizio della frammentazione...

  26. andrea.andrea

    Ciao ragazzi!
    Che bello questo blog, più passa il tempo e più mi ci affezziono : ).
    sono contento di questo percorso  di matematica, trovo che abbia anche il merito aggiuntivo di lasciare molti spunti di riflessione "filosofeggianti", inf e zero sono dei gran concetti!
    I miei prof delle scuole non si fermavano su certi aspetti. boh! era tutto più noioso e opaco.
    Mitico Enzo per rendere tutto scorrevolmente avvincente e mitici gli utenti,  persone curiose e mai banali!
    Un saluto.
    Andrea.

  27. grazie Andrea, a nome di tutti i pochi ma buoni partecipanti... :-P

  28. Enzonumerouno

    Sempre impeccabile Enzo, per favore continua così, se non ci fossi tu...

  29. Enzonumerouno

    spero di diventare come te :mrgreen:

  30. grazie carissimo (mi fa effetto scrivere il tuo nickname... mi sembra di autoadularmi! :roll: ). Per il futuro... non preoccuparti. Prima di tutto non ci vuole molto e poi se ti interessi di questi argomenti sei già sulla strada giusta! Ricorda, soltanto, di essere sempre te stesso ed evitare troppi compromessi. La verità non deve temere niente! :wink:

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