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30/05/14

23. Le equazioni di secondo grado*

Le avevo date per cosa acquisita, ma forse è meglio richiamarle in vista dello studio di funzione, dato che saranno necessarie per determinare i loro punti particolari. Questo articolo vuole proporre la soluzione di un’equazione completa di secondo grado oltre che, ovviamente, spiegare come si deriva la formula finale.

Equazione completa

L’equazione completa di secondo grado (con tutti i termini) ha la forma:

ax2 + bx + c = 0   …. (1)

x è la variabile che bisogna ricavare, mentre a, b e c sono coefficienti numerici (noti). In sintesi, dobbiamo scrivere la formula che ci permette di calcolare i valori di x che soddisfano l’espressione (1), ossia le soluzioni dell’equazione. Questi valori sono, ovviamente, funzione dei coefficienti noti.

Parliamo di due soluzioni, proprio perché l’equazione è di secondo grado e quindi esistono due valori distinti di x che permettono l’uguaglianza scritta precedentemente.

Prendiamo in mano l’equazione e cerchiamo di capire cosa possiamo fare per trasformarla in una formula che da un lato abbia la x e dall’altro solo i termini noti a,b e c. Innanzitutto, vediamo che la x compare al quadrato e, quindi, è necessario costruirci un quadrato che la contenga in modo che l’operazione di radice quadrata possa condurci ad avere l’incognita ridotta al primo grado.

L’equazione, così come è scritta, non è il quadrato di niente. Vale la pena ricordare la formula che descrive il quadrato di un binomio (ve lo ricordate? L’abbiamo descritto nel capitolo lunghissimo sui prodotti notevoli). Essa è:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Torniamo alla (1). Affinché il primo termine sia un quadrato (del tipo A2) è necessario che oltre a x, anche a compaia al quadrato. Cominciamo con questo primo passaggio e scriviamo la (1) dopo aver moltiplicato tutti i termini per a (questo lo possiamo fare perché un’espressione uguale a zero resta tale anche se viene moltiplicata per un numero qualsiasi, diverso da zero e infinito):

a2x2 + abx + ac = 0      …. (2)

No, non ci siamo ancora. Abbiamo bisogno che il secondo termine diventi un “doppio” prodotto del tipo 2AB, ossia contenga il numero 2 o un suo multiplo. Beh… moltiplicare tutto per 2 non risolve niente, perché il termine a2x2 diventerebbe 2 a2x2 che non è più un quadrato (a meno di non considerare la radice di due, ma non complichiamoci la vita…). Tanto vale moltiplicare subito per 4, che è un quadrato ed è anche multiplo di 2. Detto fatto e la (2) diventa:

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0      …. (3)

Uffa! Siamo riusciti a mettere a posto i primi due membri (uno è un quadrato e l’altro è un doppio prodotto), ma ci manca completamente il terzo membro, ossia il quadrato del secondo termine del binomio. 4ac non c’entra niente dato che vi compare c e non b. Non ci resta che sommare e togliere il quadrato richiesto dalla formula del quadrato di un binomio (aggiungendo e togliendo una stessa quantità l’espressione non cambia). Questo quadrato non è altro che b2. Eseguiamo l’operazione e riscriviamo la (3):

4a2x2 + 4abx + b2 – b2 + 4ac = 0       …. (4)

Andiamo molto meglio! I primi tre termini non sono altro che l’espressione che descrive il quadrato di un binomio. Infatti:

(2ax + b)2 = 4a2x2 + 4abx + b2

Al posto dei primi tre fattori della (4) inseriamo il quadrato del binomio ed essa diventa:

(2ax + b)2 – b2 + 4ac = 0          …. (5)

Innanzitutto, spostiamo subito ciò che non contiene x nella parte destra dell’espressione (5), cambiandogli, ovviamente segno:

(2ax + b)2 = b2 - 4ac              …. (6)

Ci siamo riusciti! A sinistra abbiamo un quadrato e possiamo eseguire l’operazione di radice quadrata su entrambi i membri della (6).

√(2ax + b)2  = √(b2 - 4ac)      …. (7)

E’ giusto quello che ho scritto? Non del tutto. Quando eseguiamo una radice quadrata dobbiamo tener conto di un fatto molto importante. Dato un numero t e il suo valore negativo – t, sappiamo benissimo che, per entrambi, il quadrato vale t2, dato che meno per meno da più (il quadrato non è altro che la moltiplicazione di un numero per se stesso). In altre parole:

t t = (-t) (-t) = t2

Ma questa ovvia conclusione ci dice anche che la radice quadrata di t2 può essere sia t che – t. Se scrivessimo √4 dovremmo dire che essa vale sia 2 che – 2. Solitamente si scrive solo il valore positivo, ma questo è un errore o -almeno- una soluzione parziale. Dovremmo, invece, scrivere che:

√4 = +/- 2

Infatti, elevando a quadrato (operazione inversa della radice quadrata) sia 2 che – 2 otteniamo sempre 4.

La (7) deve allora essere scritta senza dimenticare di mettere  il doppio segno. Essa diventa:

√(2ax + b)2  = +/- √(b2 - 4ac)      …. (8)

Il primo membro, però, è esattamente un quadrato e quindi si ha immediatamente:

2ax + b = +/- √(b2 - 4ac)     …. (9)

Siamo, ormai, alla fine della nostra avventura matematica. Basta, infatti, portare al secondo membro anche b e dividerlo per 2a. In tal modo abbiamo, finalmente, al primo membro solo la x, proprio ciò che volevamo!

x = (- b +/- √(b2 - 4ac))/2a       …. (10)

La (10) è la formula che ci permette di ricavare immediatamente i due valori della x capaci di verificare la (1), ossia le soluzioni dell’equazione. Ovviamente, un valore è quello che considera il segno + e l’altro è quello che considera il segno -.

Bene, applicatela un po’ di volte e ve la ricorderete facilmente a memoria. Per i meno esperti inserisco, alla fine, qualche esercizio…

Equazioni pure e spurie

Si chiamano così quelle equazioni di secondo grado in cui manca qualche termine. Nel caso che non vi sia il termine in x, l’equazione si dice pura; nel caso manchi il termine noto c, l’equazione si chiama spuria. Entrambi sono casi decisamente più facili da risolvere e li richiamiamo solo per completezza.

Equazione pura

Essa è della forma:

ax2 + c = 0

Basta portare il termine noto nel secondo membro e dividere per a:

x2 = - c/a

e, infine:

x = +/- √- c/a

Non fatevi spaventare da quel segno meno sotto radice! Esso non vuol dire che il numero di cui estrarre la radice è negativo, ma solo che bisogna cambiare il segno a c. Ovviamente se –c/a fosse proprio negativo, l’equazione non avrebbe soluzioni reali, dato che nessun numero reale ammette che il suo quadrato sia negativo.

Equazione spuria

Essa è della forma:

ax2 + bx = 0

Basta mettere in evidenza la x e l’equazione diventa:

x(ax + b) = 0

Affinché sia zero un prodotto, è necessario che sia zero almeno uno dei due fattori, ossia:

x = 0

oppure:

ax + b = 0

La prima equazione ci dice subito che una soluzione è proprio x = 0; la seconda che l’altra soluzione è data da:

x = - b/a

In poche parole, ci riconduciamo a un’equazione di primo grado.

ESERCIZI

(1)  x2 – 5x + 6 = 0

(2)  2x2 + 6x – 3 = 0

(3)  4x2 + 3x – 8 = 0

(4)  2x2 - 9/2 = 0

(5)  7x2 – 3x = 0

Attenzione… che non sempre esistono soluzioni reali… ma noi non possiamo intrufolarci anche nel mondo dei numeri immaginari e quindi dobbiamo abbandonare…

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

5 commenti

  1. Pier Francesco

    Una curiosità storica: la formula per risolvere le equazioni di secondo grado fu scoperta da Al-Khwarismi, immenso matematico persiano che operava alla corte di Bagdad e che ha dato il suo nome alla parola "algoritmo", usando un procedimento come questo ma puramente geometrico. A leggerlo si resta sbalorditi dalla relativa semplicità e contemporanea genialità che lo contraddistinguono (il famoso "uovo di Colombo").  :wink:

  2. grazie del prezioso commento Pier  :)

  3. AlexanderG

    Che tu ci creda o no, ho fatto prima con carta e penna che con la sola calcolatrice dell'iPad ;)

    (1) x=2, x=3
    (2) x=(1/2){-3-[15^(1/2)]}=-3.4365, x=(1/2){[15^(1/2)]-3}=0.4365
    (3) x=-1.84, x=1.1 (circa)
    (4) x=-1.5, x=1.5 (esatto)
    (5) x=0, x=(3/7)=0.43

    Dei 5 esercizi, non me ne risulta nemmeno uno con b^2 > 4ac, e quindi nessuna radice quadrata di numeri negativi, con conseguente "sconfinamento" nell'insieme dei numeri immaginari/complessi... ho sbagliato qualcosa io?

  4. Paolo

    Caro Enzo vediamo se riesco a risolvere gli esercizi e trovare le due soluzioni di x che soddisfano le equazioni di secondo grado.

    Spero che i risultati siano corretti (se l'analisi logica andava bene, vediamo come vado con la grammatica di questa interessante lingua che è la matematica).

    La prima è un equazione completa, del tipo ax^2 + bx + c = 0
    (1) x^2 – 5x + 6 = 0
    dove a=1; b=-5; c=6

    Applicando la formula per ricavare la duplice soluzione dell'equazione completa, si ha:
    x = (-b +/-(b^2 – 4ac)^1/2)/2a
    x = (-(-5) +/- (-5^2 – 4 (1) (6))^1/2)/2 (1)
    x = (+5 +/- (+25 – 24)^1/2)/2
    x = (+5 +/- (1)^1/2)/2
    x = (+5 +/- 1)/2

    x1= (5 +1)/2 = 6/2 = +3
    x2 = (5-1)/2 = 4/2 = +2

    Anche la seconda è un'equazione completa:
    (2) 2x^2 + 6x – 3 = 0
    dove a=2; b=6; c=-3

    Quindi:
    x = (-b +/-(b^2 – 4ac)^1/2)/2a
    x = (-6 +/-(6^2 – 4 (2) (-3))^1/2)/2 (2)
    x = (-6 +/-(36 + 24)^1/2)/4
    x = (-6 +/- 7,746)/4

    x1 = (-6 + 7,746)/4 = 1,746/4= + 0,4365
    x2= (-6 - 7,746)/4 =- 13,746/4 = -3,4365

    Anche la terza è un'equazione completa:
    (3) 4x^2 + 3x – 8 = 0
    dove a=4; b=3; c=-8

    Quindi:
    x = (-b +/-(b^2 – 4ac)^1/2)/2a
    x = (-3 +/-(3^2 – 4 (4) (-8))^1/2)/2 (4)
    x = (-3 +/-(9 + 128)^1/2)/8
    x = (-3 +/- (137)^1/2)/8
    x = (-3 +/- 11,7)/8

    x1 = (-3 + 11,7)/8 = 8,7/8= + 1,0875
    x2= (-3 – 11,7)/8 = -14,7/8 = -1,8375

    La quarta è un'equazione pura, tipo ax^2+c =0
    (4) 2x^2 – 9/2 = 0
    dove a=2; c=-9/2

    Quindi, usando la formula per risolverla:
    x = +/- (-c/a)^1/2
    x= +/- (-(-9/2)/2)^1/2
    x= +/- (9/4)^1/2 dato che 9/4 = 3^2/2^2
    x= +/- 3/2 = 1,5
    x1 = + 1,5
    x2 = - 1,5

    L'ultima è un'equazione spuria, tipo ax^2+ bx =0
    (5) 7x^2 – 3x = 0
    dove a=7; b=-3

    Quindi, usando la formula per risolverla:
    x (ax+b) = 0
    x1 = 0
    x2 = -b/a = -(-3)/7 = +3/7= + 0,4285

    Questa volta non ho figure da proporre. :mrgreen:

    Paolo

  5. caro Paolo,
    tu saresti la gioia di ogni professore!!!! :mrgreen:

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