28/12/16

Soluzione al quiz della tartaruga e della lumaca

Il quiz può essere risolto in vari modi. Quello sicuramente più semplice, che non richiede il ricorso a strumenti matematici particolari, consiste nel fare il seguente ragionamento logico.

Soluzione (a)

Nelle 12 ore che vanno dalla partenza P all'arrivo A=P la tartaruga compie esattamente 12 giri e la lumaca un giro. Quindi la tartaruga doppia la  lumaca 11 volte. Poiché la lumaca impiega 12 ore per tornare in P, tra un  sorpasso ed il successivo passa un intervallo di tempo dato da 12 ore diviso 11, cioè 1 ora 5 minuti e 27 secondi circa.

Eccovi un'animazione che illustra la strana gara tra tartaruga e lumaca con i dati di partenza:

Un'altra strada percorribile per la risoluzione del quiz è quella che parte dalla constatazione che in un'ora la tartaruga fa un giro completo, mentre la lumaca 1/12 di giro.

Soluzione (b)

In pratica è la constatazione equivalente a quella fatta nella soluzione (a), ma considerando un intervallo di tempo di un'ora. Dopo 1 ora dalla partenza, la tartaruga starà in A mentre la lumaca starà ad una distanza angolare di 30 gradi rispetto ad A. Questo perché, la lumaca, se per fare un giro completo ci impiega 12 ore, in un'ora copre un angolo

\theta_{1} =\omega _{L} *1h=\frac{2\pi }{12h}*h=\frac{2\pi}{12}          (cioè 30°)

La tartaruga arrivata in A , per doppiare la lumaca dovrà perciò percorrere ancora una distanza angolare di 30 gradi lungo la circonferenza. Essa coprirà tale distanza in un  tempo pari a 1/12 di ora, cioè 5 minuti. Infatti, se la tartaruga compie un giro completo in 1 ora, per percorrere 30 gradi ci impiegherà naturalmente 1/12 di ora. Cioè:

\Delta t_{1}=\frac{\theta _{1}}{\omega _{T}}=\frac{\frac{2\pi }{12}}{\frac{2\pi }{1h}}=\frac{1}{12}h=5'

Ma in questo intervallo di tempo, la lumaca non sarà stata ferma ma avrà percorso un ulteriore arco di circonferenza relativo ad un certo angolo. Quale ?  Quello che essa è in grado ci coprire alla sua velocità in 1/12 di ora. Quindi:

\theta_{2} =\omega _{L} *\frac{1}{12}h=\frac{2\pi }{12h}*\frac{1}{12}h=\frac{2\pi}{12^{2}}

Pertanto, la tartaruga, che nel frattempo aveva percorso un giro completo più la distanza angolare \theta _{1}, per raggiungere la lumaca dovrà percorrere l'ulteriore distanza angolare \theta _{2} . Essa coprirà tale distanza in un tempo pari a

\Delta t_{2}=\frac{\theta _{2}}{\omega _{T}}=\frac{\frac{2\pi }{12^{2}}}{\frac{2\pi }{1h}}=\frac{1}{12^{2}}h

Ma in questo intervallo di tempo la lumaca avrà continuato a camminare e avrà percorso un altro arco di circonferenza pari questa volta a

\theta_{3} =\omega _{L} *\frac{1}{12^{2}}h=\frac{2\pi }{12h}*\frac{1}{12^{2}}h=\frac{2\pi}{12^{3}}

Pertanto, la tartaruga, che nel frattempo aveva percorso un giro completo più la distanza angolare \theta _{1} più la distanza angolare \theta _{2}, per raggiungere la lumaca dovrà percorrere l'ulteriore distanza angolare \theta _{3} . Essa coprirà tale distanza in un tempo pari a

\Delta t_{3}=\frac{\theta _{3}}{\omega _{T}}=\frac{\frac{2\pi }{12^{3}}}{\frac{2\pi }{1h}}=\frac{1}{12^{3}}h

Ormai si intuisce che il suddetto ragionamento va avanti di questo passo con contributi temporali sempre più piccoli. Possiamo, in particolare scrivere che il tempo necessario perchè la tartaruga raggiunga la lumaca sarà pari alla somma di tutti i suddetti intervalli di tempo considerati, cioè:

\Delta t_=1h+\sum_{n=1}^{\infty }\Delta t_{n}=1h+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{12^{n}}h=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{12^{n}}h

Ma i termini

\frac{1}{12};(\frac{1}{12})^{2};(\frac{1}{12})^{3}......

sono quelli della serie geometrica di ragione q=\frac{1}{12} . Tale serie è convergente e la somma dei suoi termini è pari a \frac{1}{1-q} cioè \frac{12}{11} . Quindi, in definitiva, il tempo necessario perché la tartaruga raggiunga la lumaca è:

\Delta t_=\frac{12}{11}h = 1,\bar{09}=1h5' 27'' circa

Siamo arrivati allo stesso risultato della soluzione (a) e abbiamo rinfrescato un po' la memorie sulle serie geometriche  :)

Il quiz , però, si presta ad essere risolto anche per via trigonometrica.

Soluzione (c)

Immaginiamo di rappresentare la traiettoria (una stessa circonferenza) seguita dalla tartaruga e dalla lumaca in un piano cartesiano xOy. La circonferenza  sia centrata nell'origine degli assi. Indichiamo con R il raggio di tale circonferenza. Se con P_{L}(t) e P_{T}(t) indichiamo la generica posizione, all'istante di tempo t, della lumaca e della tartaruga, rispettivamente, sulla circonferenza , sappiamo, dalla trigonometria, che l'ascissa e l'ordinata di tali punti  sono esprimibili in funzione dell'angolo compreso tra il il segmento congiungente la posizione con l'origine e l'asse x. Quindi:

x_{L}(t)=Rcos\alpha_{L}(t)

y_{L}(t)=Rsen\alpha_{L}(t)

x_{T}(t)=Rcos\alpha_{T}(t)

y_{T}(t)=Rsen\alpha_{T}(t)

Nel nostro caso, il moto circolare della tartaruga e della lumaca parte non dall'asse x ma dall'asse y e lo abbiamo ipotizzato svolgersi in senso orario. Dobbiamo quindi correggere le suddette relazioni come segue:

x_{L}(t)=Rcos\left [ \frac{\pi }{2}-\theta_{L}(t)\right ]=Rsen\theta_{L}(t)

y_{L}(t)=Rsen\left [ \frac{\pi }{2}-\theta_{L}(t)\right ]=Rcos\theta_{L}(t)

x_{T}(t)=Rcos\left [ \frac{\pi }{2}-\theta_{T}(t)\right ]=Rsen\theta_{T}(t)

y_{T}(t)=Rsen\left [ \frac{\pi }{2}-\theta_{T}(t)\right ]=Rcos\theta_{T}(t)

Ora, l'angolo \theta _{L} che la lumaca copre nel tempo t è dato dalla relazione che definisce la sua velocità angolare:

\omega _{L}=\frac{\theta _{L}}{t}

quindi

\theta _{L}(t)=\omega _{L}*t     (*)

Stesso ragionamento per la tartaruga:

\theta _{T}(t)=\omega _{T}*t     (**)

Noi sappiamo che la tartaruga è 12 volte più veloce della lumaca, cioè:

\omega _{T}=12\omega _{L}

Ne deriva, dalla (*) e dalla (**), che:

\theta _{T}(t)=12\theta _{L}(t)    (***)

Cioè, l'angolo che la tartaruga copre in un certo intervallo di tempo è 12 volte quello coperto dalla lumaca.

Ora osserviamo che quando la tartaruga raggiunge la lumaca, le coordinate cartesiane dei punti P_{L}(t)  e P_{T}(t) evidentemente sono le stesse, visto che i due punti in questa circostanza coincidono. Si tratta, allora, di imporre questa uguaglianza tra coordinate cartesiane, come espresse dalle relazioni viste sopra e tenendo conto della (***):

x_{L}(t)=x_{T}(t)\rightarrow sen\theta _{L}(t)=sen\theta _{T}(t)

y_{L}(t)=y_{T}(t)\rightarrow cos\theta _{L}(t)=cos\theta _{T}(t)

cioè:

sen\theta _{L}(t)=sen12\theta _{L}(t)

cos\theta _{L}(t)=cos12\theta _{L}(t)

Le due suddette relazioni devono essere contemporaneamente soddisfatte. Siamo, quindi, dinanzi ad un sistema di due equazioni trigonometriche. Purtroppo, la presenza del 12 complica parecchio le cose, perché lo sviluppo del seno e del coseno di un angolo pari a 12\theta non è affatto semplice. Per farla più breve, possiamo scrivere le due relazioni come segue:

sen\theta _{L}(t)-sen12\theta _{L}(t)=0           (I)

cos\theta _{L}(t)-cos12\theta _{L}(t)=0            (II)

e pensare a ciò che è al primo membro delle due suddette equazioni come ad altrettante funzioni dell'angolo \theta _{L}. Si tratta a questo punto di trovare per via grafica i valori di \theta _{L} per cui entrambe le curve rappresentative delle due suddette funzioni intersecano l'asse x (il che equivale a cercare i punti per i quali le due funzioni si annullano contemporaneamente, cioè per i quali sono soddisfatte le due suddette relazioni). Il risultato che si ottiene è che il primo angolo in corrispondenza del quale tartaruga e lumaca occupano la stessa posizione sulla circonferenza è

\theta _{L}(t)=\frac{2\pi }{11}

Ora, ricordando la (*) abbiamo:

\omega _{L}*t=\frac{2\pi }{11}

da cui

t=\frac{2\pi }{11}*\frac{1}{\omega _{L}}=\frac{2\pi }{11}*\frac{12h}{2\pi }=\frac{12}{11}h

Cioè lo stesso risultato ottenuto con le prime due soluzioni, avendo però con questa ripetuto un po' di trigonometria e di grafici delle funzioni  :)

Divagazione sul tema: nel caso la lumaca avesse avuto una velocità pari alla metà di quella della tartaruga, quindi pari a un angolo giro ogni due ore, dalle suddette relazioni trigonometriche avremmo dedotto che la tartaruga raggiunge la lumaca sempre nel punto di partenza , ogni 2 ore.  In questo caso, infatti, le (I) e (II) diventano:

sen\theta _{L}(t)-sen2\theta _{L}(t)=0

cos\theta _{L}(t)-cos2\theta _{L}(t)=0

cioè, ricordando le formule di duplicazione :

sen\theta _{L}(t)-2sen\theta _{L}(t)cos\theta _{L}(t)=0\rightarrow sen\theta _{L}(t)(1-2cos\theta _{L}(t))=0

cos\theta _{L}(t)-2cos^{2}\theta _{L}(t)+1=0\rightarrow 2cos^{2}\theta _{L}(t)-cos\theta _{L}(t)-1=0

Risolvendo il sistema si trova come soluzione \theta = 0 con periodo 2\pi. Escludendo la posizione iniziale , quindi, la tartaruga raggiunge la lumaca sempre nel punto P=A, cioè dopo ogni angolo giro dalla partenza. Dopo quanto tempo dalla partenza la tartaruga raggiunge la lumaca ? Semplice:

\omega _{L}*t=2\pi \rightarrow t=\frac{2\pi }{\omega _{L}}=\frac{2\pi }{\frac{2\pi }{2h}}=2h

L'animazione seguente è relativa a questo caso:

E se la tartaruga avesse avuto una velocità 60 volte quella della lumaca ? In tal caso avremmo potuto simulare la loro gara con un orologio ! La lancetta dei secondi, infatti, si muove con velocità pari a 60 volte quella dei minuti. Cioè, la lancetta dei minuti impiega 60 minuti per compiere un giro completo, mentre quella dei secondi ne impiega uno solo. Ormai siamo bravi, per cui sappiamo già calcolare ogni quanto tempo la lancetta dei secondi doppia quella dei minuti:

\Delta t_=\frac{60}{59} minuti=1,01695'

pari a 1 minuto , 1 secondo e 1,7 centesimi di secondo circa.

Qui potete vedere un'animazione dell'orologio (sole lancette dei minuti e dei secondi) realizzata anche essa con geogebra. Il movimento delle lancette è governato, nel modello, dalle relazioni trigonometriche viste sopra. Il modello non spacca il secondo... ma rende bene l'idea.

Il moto della tartaruga e della lumaca ricorda quello dei pianeti che rivolvono attorno alla loro stella. Ecco allora che compare sulla scena un quarto modo di risolverlo, invocando il cosiddetto "periodo sinodico". La prima parte della quarta soluzione è stata un po' romanzata secondo lo spirito giocoso di questo Circolo.

Soluzione (d)

Ogni volta che la tartaruga raggiunge la lumaca è come se ci fosse un’opposizione planetaria. In effetti, il nostro amico Quazel sorrideva mentre scorrevano i commenti al suo quiz, solo apparentemente banale e alla portata di tutti. Lui pensava di essere in un ambiente astronomico e si sarebbe aspettato, fin da subito, una spiegazione di tipo planetario. Era ovvio che la tartaruga e la lumaca fossero solo simboli di un qualcosa di ben più generale. Poi, vedendo che nessuno ci arrivava, l’aveva buttata lì…: “E se la tartaruga e la lumaca fossero due pianeti?”. Una frase talmente profonda e rivoluzionaria che costrinse Quazel a mordersi la lingua… Accidenti, cosa aveva detto?! E, adesso, avrebbe dovuto spiegare molte, forse troppe, cose. Ne ebbe la conferma quando sulla Terra i soliti scienziati troppo conservatori sollevarono la questione, quasi ridicola per Quazel, che la legge di Newton (mamma mia… un vero fossile scientifico) non poteva certo permettere di stare alla stessa distanza dal Sole, descrivere orbite uguali, ma con periodi anche molto diversi. Avrebbe voluto far cadere il discorso, ma ormai era troppo tardi e gli scienziati, un po’ gelosi della sua sapienza, non facevano altro che irriderlo. Bene, l’avevano voluto e l’avrebbero avuto, anche se in maniera molto “soft” (Quazel non era assolutamente vendicativo e accettava le situazioni con molta saggezza e comprensione). Non erano ancora pronti per quel salto risolutivo nella comprensione del Cosmo, ma avevano qualche base alla quale Quazel poteva riferirsi. In  qualche modo, i più aperti avrebbero forse trovato la via da seguire in un lontano futuro. Ormai, non poteva più tornare indietro. Quazel si rivolse, però, ai più giovani, quelli il cui viso irradiava voglia di sapere e non di mostrare quel poco che conoscevano. E iniziò da lontano… QUI Dopo la lezione di Quazel molti rimasero sbalorditi, altri si misero subito a scrivere qualche formula, altri applaudirono, altri risero… poi tutti si misero all’opera e la soluzione risultò semplicissima, mentre qualcuno, in disparte, borbottava in silenzio e stracciava fogli con formule ormai obsolete… Peccato, perché l’Universo è sempre splendido, che si capisca oppure no!

Subito dopo la seguente animazione trovate la soluzione analitica con il periodo sinodico.

L’intervallo tra due opposizioni planetarie è dato dal periodo sinodico PLT

Il periodo della lumaca è PL = 12 ore

Il periodo della tartaruga è  PT = 1 ora

Vale la relazione:

\frac{1}{P_{sinodicoLT}}=\frac{1}{P_{T}}-\frac{1}{P_{L}}

Chi volesse approfondire la conoscenza del periodo sinodico e comprendere da dove deriva la suddetta relazione può leggere QUI

Applicando la suddetta formula al nostro caso:

\frac{1}{P_{sinodicoLT}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{12}=0,9167

da cui

P_{sinodicoLT}=1,\bar{09} = 1h  5'  27"

Quanti periodi sinodici ci stanno in 12 ore? Basta fare:

12/1.0909 = 11 volte esatte.

Grazie anche questa volta a tutti coloro che hanno partecipato alla soluzione del quiz.

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