30/09/17

Soluzione del quiz "A carte scoperte"

Come chiunque può verificare empiricamente, con un mazzo di 21 carte, la carta cercata finisce sempre per trovarsi nell'undicesima posizione del mazzo.

Questo è un fatto empirico: se volete stupire i vostri amici, basta presentargli l'undicesima carta. Ma qual è la magia matematica che porta a tale risultato?

Intuitivamente, il fatto di mettere sempre la carta nel mazzetto centrale, fa pensare che essa dopo qualche passaggio vada a finire sempre in mezzo al mazzo totale. Ma vediamo di analizzare meglio i vari passaggi...

 

1° manche:

si formano i primi tre mazzetti in modo ordinato. Pensiamo alle carte come ad un insieme ordinato che va da 1 a 21. Disponendo le carte in tre mazzetti, altro non facciamo che una divisione per 3. Essa avrà un quoziente e un resto: se x è il numero d'ordine della nostra carta, x=3 * q + r dove q è il quoziente della divisione, e r il resto. Sappiamo quindi (anche pensando empiricamente) che all'interno di uno dei tre mazzetti la carta può occupare il primo o il settimo posto.

I valori estremi che può assumere x, sono rispettivamente 1 (prima carta del primo mazzo) o 21 ultima carta del terzo mazzo) si tratta  dei due casi limite, utili per inquadrare la posizione tramite diseguaglianze.

Se il mazzetto dove si trova la carta va messo in mezzo, la carta avrà davanti 7 altre carte; essendo la prima o la settima del mazzetto centrale, potrà, alla fine della prima manche, occupare una posizione assoluta nel mazzo di 21 carte, compresa fra 8 e 14: 8\leq p\leq 14

 

2° manche:

osserviamo intanto che se una carta occupa una certa posizione nel mazzo totale, tale posizione p può essere divisibile o no per 3; ad esempio se p=12 (divisibile per 3) la carta finirà nella 4° posizione nel mazzetto, che equivale semplicemente a dividere p per 3; p=4*3, ovvero q=4.

Se invece la carta non è divisibile per 3, occuperà nel mazzetto posizione q+1, sia che il resto sia 1 che 2 (non si sono altre possibilità per il resto). Se la carta è divisibile per 3, va nell'ultimo mazzetto; se ha resto 1 va nel primo mazzetto, in posizione q+1; se ha resto 2 va nel secondo mazzetto, ma sempre in posizione relativa q+1.

Infatti,  se p=13, va a finire in posizione relativa 5, e lo stesso accade  se p=14.

Quindi, se dopo il primo giro, 8\leq p\leq 14 , chiamando y la posizione relativa nel mazzetto da sette e dividendo 8 e 14 con il nostro metodo (8:3=2 ; 2+1=3, 14:3=4; 4+1=5), otteniamo  3\leq y\leq 5, questa è la posizione relativa nel mazzetto da sette al secondo giro.

 

3° manche:

essendo la carta in posizione relativa  y nel mazzetto, la posizione assoluta si otterrà sommando sette: 7+3\leq y\leq 5+7 ovvero 10\leq y\leq 12 ; riapplichiamo ancora il nostro metodo:

agli estremi  (10:3=3 ; 3+1=4) e (12:3=4), quindi la nuova posizione relativa z sarà 4\leq z\leq 4 cioè proprio e soltanto 4, e quindi quella assoluta nel mazzo da 21 sarà 7+4=11.

 

Quindi nessuna magia... ma solo un po' di matematica!

 

 

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