Mag 19

MINI-Quiz: una funzione particolare.

Continuiamo con i quesiti che una volta messi assieme comporranno la dimostrazione di un famoso teorema nell'ambito della teoria dei numeri. Vi prometto che siamo quasi alla fine, potrebbe essere la penultima puntata.Consideriamo il polinomio introdotto nel quiz precedente:

f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}   , n>0

ove a e b sono numeri interi diversi da zero. Tale polinomio prende il nome di polinomio di Niven. Nel quiz precedente abbiamo dimostrato tre importanti proprietà di tale polinomio, che riassumiamo:

i)  Qualsiasi sia h , \dpi{110} f^{h}(0)\in\mathbb{Z} .

ii)  f(x)=f(\frac{a}{b}-x) .

iii) f^{(j)}(\frac{a}{b})=(-1)^{j}\cdot f^{(j)}(0)

Nota: con f^{(h)}(x) indichiamola derivata di ordine h di f.

Usando il polinomio e le sue derivate possiamo costruire una funzione un po'  particolare:

F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)+.....+ (-1)^{n}\cdot f^{(2n)}(x)

che possiamo anche scrivere, con l'ausilio del simbolo di sommatoria:

F(x)=)\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\cdot f^{(2j)}(x).

Servendoci dei risultati i) e iii) del quiz precedente, (chiaramente chi vuole può fare tutto per conto proprio) dimostrare che:

i)F(0)=F(\frac{a}{b})\in\mathbb{Z} (sono cioè uguali  allo stesso numero intero)

usando poi la definizione di F(x) dimostrare che:

ii)F^{''}(x)+F(x)=f(x).

Buon divertimento!

 

5 commenti

  1. Umberto

    So che il formalismo usato può spaventare, ma uno degli scopi del quiz era proprio di sconfiggere tale ostacolo. Per farlo si può per esempio dare un valore a n e generalizzare in un secondo momento

     

  2. Fabrizio

    La risposta alla prima domanda potrebbe essere questa:

    F(0)=\sum_{j=0}^{n}{(-1)^j\;f^{2j}(0)}=\sum_{j=0}^{n}{(-1)^j\;(-1)^{2j}f^{2j}\left (\frac{a}{b}\right )}=

     

    =\sum_{j=0}^{n}{(-1)^j\;f^{2j}\left (\frac{a}{b}\right )}=F\left (\frac{a}{b}\right )

    La risposta alla seconda domanda potrebbe essere questa:

    F^{''}(x)=\sum_{j=0}^{n-1}{(-1)^j\;f^{2j+2}(x)}=\sum_{j=1}^{n}{(-1)^{j-1}\;f^{2j}\left (x\right )}

     

     

     

    Nella prima sommatoria arrivo a n-1 perché l'ultimo termine in n è la derivate 2n+2 di un polinomio di grado 2n che è nulla. Nella seconda sommatoria ho fatto la sostituzione di i con j-1 che fa scorrere la sommatoria di 1.

     

     

    F(x)+F^{''}(x)=\sum_{j=0}^{n}{(-1)^j\;f^{2j}(x)}+\sum_{j=1}^{n}{(-1)^{j-1}\;f^{2j}\left (x\right )}=

    =f(x)+\sum_{j=1}^{n}{\left [(-1)^{j}+(-1)^{j-1} \right ]\;f^{2j}\left (x\right )}=f(x)

    Il termine all'interno della parentesi quadra è 0 perché

    (-1)^{j}+(-1)^{j-1} =(-1)^{j-1}\left [-1+(-1)^{0} \right ]=(-1)^{j-1}\left [-1+1 \right ]=0

  3. Umberto

    Grazie Fabrizio, ero certo che la tua risposta arrivasse puntuale.

     

  4. Umberto

    Per chi non riuscisse a seguire il formalismo usato da Fabrizio, come dicevo sopra può provare a dare un valore a n. Supponiamo ad esempio n=2

    Per primo dobbiamo dimostrare che:

    F(0)=F(\frac{a}{b})\in\mathbb{Z}

    per n=2,  senza usare il simbolo di sommatoria,

    F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)

    F(0)=f(0)-f^{(2)}(0)+f^{(4)}(0)

    sappiamo per ipotesi che f^{(j)}(\frac{a}{b})=(-1)^{j}\cdot f^{(j)}(0) qualsiasi sia j

    quindi:

    f(\frac{a}{b})=(-1)^{0}\cdot f(0)=f(0))

    f^{(2)}(\frac{a}{b})=(-1)^{2}\cdot f^{(2)}(0)= f^{(2)}(0)

    f^{(4)}(\frac{a}{b})=(-1)^{4}\cdot f^{(4)}(0)= f^{(4)}(0)

    ma sempre per definizione di F(x):

    F(\frac{a}{b})=f(\frac{a}{b})-f^{(2)}(\frac{a}{b})+f^{(4)}(\frac{a}{b})

    che per le tre uguaglianze 1,2,3

    F(\frac{a}{b})=f(\frac{a}{b})-f^{(2)}(\frac{a}{b})+f^{(4)}(\frac{a}{b})=f(0)-f^{(2)}(0)+f^{(4)}(0)=F(0)

    come vedete se si semplifica il formalismo, diventa quasi una banalità

     

     

     

     

  5. Umberto

    Anche per la comprensione del secondo punto , possiamo dare un valore ad n, per esempio n=2, e teniamo presente che il polinomio f(x) ha grado 2n=4

    F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)

     

     

    usando questa definizione  vogliamo dimostrare che:

    ii)F^{''}(x)+F(x)=f(x).

    uso il simbolo D per la derivata

    F'(x)=DF(x)=D(f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x))=f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)+f^{(5)}(x)

    ma avendo grado 4, la derivata 5 è zero:

    F'(x)=DF(x)=D(f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x))=f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)

    Voglio adesso calcolare F''(x):

    F''(x)=DF'(x)=Df^{(1)}(x)-Df^{(3)}(x)=f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)

    faccio adesso la somma di F'' e F:

    F''(x)+F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)=f(x)

    come vedete niente di difficile. Chi vuole può provare per altri valori di n.

     

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