Giu 23

Soluzione al quiz logaritmico.

Il quiz, che trovate qui,  richiedeva di confrontare \log_{3} 5 e \log_{2} 3, senza far uso di calcolatrici. In pratica, non usando le espressioni decimali di tali logaritmi.

Cerco di spiegare nei dettagli la soluzione di Fabrizio, che comunque è perfetta, ma forse non tutti i lettori possono capirla al volo. Intanto ricordo che sia nel caso del logaritmo in base 2, che in quello in base 3 che chiamiamo brevemente \log _{a}, se x<y, allora \log _{a}x<\log _{a}y. Questo deriva dalla definizione di logaritmo e dalle proprietà delle potenze. Infatti chi è \log _{a}x? E' il numero a cui elevare la base a per ottenere x,   x=a^{\log _{a}x} . E il  \log _{a}y?  e' il numero a cui elevare la base a per ottenere y, y=a^{\log _{a}y}. essendo x<y, x/y<1,  abbiamo:\frac{x}{y}=\frac{a^{\log _{a}x}}{a^{\log _{a}y}}=a^{\log _{a}x-\log _{a}y}<1; ma a>1 , quindi l'esponente deve essere negativo, ovvero \log _{a}x-\log _{a}y<0, pertanto \log _{a}x<\log _{a}y. Ricordo anche che la radice si può anche scrivere usando gli esponenti frazionari, cioè \sqrt{c}=c^{\frac{1}{2}}.

Possiamo scrivere:

5<\sqrt{27}=3^{\frac{3}{2}}  (in quanto 5^{2}=25<(\sqrt{27})^{2}=27)

3>\sqrt{8}=2^{\frac{3}{2}}  in quanto 3^{2}=9>(\sqrt{8})^{2}=8

Abbiamo allora:

5<3^{\frac{3}{2}}

e applicando quanto detto per  i logaritmi:

i) \log_{3} 5<\frac{3}{2}

3>2^{\frac{3}{2}}

ii) \log_{2} 3>\frac{3}{2},

e combinando le due disequazioni i) e ii):

\log_{3} 5<\frac{3}{2}  <\log_{2} 3, che è il risultato cercato.

Ringrazio gli amici e colleghi per la pazienza dimostrata, in quanto questo quiz appartiene ad una lista di quesiti giudicati impossibili, pur avendo soluzioni semplicissime. Questi quesiti sono stati concepiti da degli esperti per essere praticamente irrisolvibili,  pur avendo invece una soluzione semplicissima .Sto cercando di approfondire questa storia per capire dove e come siano stati usati, e spero di riuscire presto a scrivere un articolo.

 

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