Lug 6

Un quiz.. Diabolico!

Perchè diabolico? perchè la sua concezione  sembra stata ispirata dal diavolo. Tipo una domanda posta ad un Faust-matematico per salvare l'anima. Un quiz apparentemente difficile, ma dalla soluzione semplicissima. Ognuno può seguire vari ragionamenti.. e potrebbero anche non servire calcoli complicati .

Considerate la figura:

quizdiabolico

Abbiamo a che fare con una funzione monotona crescente. Aggiungiamo poi che è anche continua, affinché non possano generarsi ambiguità, e ovunque definita.

Il grafico di tale funzione  è intersecato da due rette orizzontali in colore rosso,  fissate,  e con una certa distanza fra loro. Per ogni punto sulla curva è possibile tracciare una retta verticale, che assieme alle due rette orizzontali e alla curva delimita due aree. Eventualmente, una delle due aree può essere degenere.Trovare il punto sulla curva in modo che sia minima la somma delle due aree grigie limitate dalle rette orizzontali, dalla curva e dalla retta verticale blu che passa per il punto.

PS:

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66 commenti

  1. Arturo Lorenzo

    Poiché non è data l'equazione della curva, intuisco che la risposta sia valida a prescindere da quest'ultima, cioè vale per qualsiasi curva, purché questa  sia monotona, crescente, continua e ovunque definita. Dopo avere stabilito le due rette orizzontali rosse, per esempio y=1 e y=3, ho così cominciato a provare con una curva semplice, cioè una retta di equazione y=1/2 x e ho trovato analiticamente il valore della x che mi annulla la derivata prima della somma delle due aree in questione. Poi sono passato ad una parabola, di equazione y = 1/2 x^2 e ho ripetuto il ragionamento. Idem per una curva di equazione y = 1/2 x^3. A questo punto mi sono accorto che l'ordinata del punto di intersezione tra la retta verticale blu e la curva data non cambiava passando da una curva all'altra. Infatti ho voluto provare infine con una curva di equazione y=ln(x) e con una curva di equazione y = radq(x) e ho verificato che succede la stessa cosa. Cambia l'ascissa del punto punto di intersezione tra la retta blu e la curva data, ma non l'ordinata. In particolare, l'ordinata di tale punto risulta essere sempre a metà strada tra le due rette rosse. Mi verrebbe quindi da azzardare che tale punto si trova semplicemente tagliando la curva (qualsiasi) con la retta orizzontale posta a metà tra le due rette rosse.

    Se è così, mancherebbe solo una dimostrazione rigorosa e generale ...

  2. umberto

    non mi sembra una cattiva idea Arturo

  3. Arturo Lorenzo

    Forse ci sono.

    Sia y=f(x) l'equazione della curva (generica).

    Indico con a l'area a sinistra della retta blu e con b quella a destra. Indico con A il punto di intersezione della curva con la retta rozza inferiore e con B quello con la retta rossa superiore. Indico con P il punto di intersezione della curva con la retta blu. Siano x(A) , y(A) , x(B), y(B) le coordinate (considerate note) dei punti A e B. Siano x, y le coordinate , ignote, del punto P.

    Ricordando il significato geometrico dell'integrale definito, posso scrivere:

    a=\int_{x(A)}^{x}f(x)dx-(x-x(A))y(A)

    b=(x(B)-x)y(B)-\int_{x}^{x(B)}f(x)dx

    Infatti, l'area a è la differenza tra l'area sottesa dalla curva tra A e P e il rettangolo avente base (x-x(A)) e altezza pari a y(A). Stesso ragionamento per l'area b.

    La somma delle aree , svolgendo i calcoli, è dunque data da:

    a+b=\int_{x(a)}^{x}f(x)dx-xy(A)+x(A)y(A)+x(B)y(B)-xy(B)-\int_{x}^{x(B)}f(x)dx

    cioè, mettendo in evidenza la x, :a+b=\int_{x(A)}^{x}f(x)dx-x[y(A)+y(B)]+x(A)y(A)+x(B)y(B)-\int_{x}^{x(B))}f(x)dx

    Poiché devo trovare il punto P per il quale si ha la minima somma delle aree, calcolo la derivata prima della suddetta espressione, ricordando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

    (a+b)'= f(x)-(y(A)+y(B))+f(x)

    cioè:

    (a+b)'=y-(y(A)+y(B))+y=2y-(y(A)+y(B))

    Poiché tale derivata deve annullarsi, ottengo:

    2y=y(A)+y(B)

    cioè:

    y=\frac{y(A)+y(B)}{2}

    Dunque, l'ordinata del punto P è a metà strada tra le due rette rosse.

     

     

  4. umberto

    vedrò Arturo anche se so che quello che scrivi ê senz'altro valido.volevo solo dire che anche chi non conosce il calcolo differenziale può risolvere il quiz. Comunque grazie per la risposta.

  5. Maurizio Bernardi

    Se al posto della curva studio una poligonale che la approssima, in ogni tratto RETTILINEO trovo sempre che la linea che determina localmente la minimizzazione della somma delle due aree è a metà del dislivello in quel tratto, cosa che ha già verificato Arturo nel primo commento.

    Mettendo insieme tutti i risultati nei vari tratti, ottengo che la limea blu si troverà a metà del dislivello totale tra le due linee rosse.

  6. Mauro

    Il punto cercato è equidistante dalle due rette.
    Ci si può arrivare guardando la figura, in cui il punto rosso è un po troppo basso e quindi a sinistra del punto ottimale.
    Immaginando infinitesime strisce verticali grige che compongono l'area grigia, si vede che

    • la parte immediatamente a dx del punto rosso è una striscia lunga più della metà della distanza tra le rette orizzontali
    • la parte immediatamente a sx è invece più corta della metà

    Quindi conviene far scorrere il punto rosso verso dx in modo da considerare le strisce corte a sx e non quelle lunghe a dx.
    Punto ottimale quello in cui sia a sx che a dx sono pari alla metà della distanza.

  7. maledetti!!! ma voi lavorate di notte... io dormo...uffa! :mrgreen:

  8. Maurizio Bernardi

    Ti sbagli, Enzo, anche io dormo , lo prova il fatto che non capisco cosa ho scritto in stato di sonnambulismo questa notte.

    Sarà stato un fenomeno diabolico....

  9. umberto

    grazie amici.. Aspettiamo anche gli altri, c e ancora spazio per i commenti.

  10. umberto

    infatti io avevo previsto un unico approccio e invece ne abbiamo già tre.quindi senz altro ce ne sono degli altri. Scusa Maurizio quando puoi fare un disegno esplicativo?

    la tua idea Mauro mi piace, potresti chiarire meglio ai lettori cosa significa quel "conviene". Ricordiamoci la definizione di minimo.

  11. Purtroppo non ho tempo da dedicare al bel quiz che si può risolvere sicuramente in modo puramente geometrico...

    Conviene considerare per prima una retta che comporta un bel rettangolo che la retta divide a metà. I due casi estremi equivalgono a una somma delle aree uguali a mezza area del rettangolo. il caso di minima somma è ovviamente una linea che taglia a metà il rettangolo, dato che si ottiene solo 1/4 dell'area del rettangolo. In questo caso, però, la divisione comporta sia la metà del delta y, sia la metà del delta x.

    Tuttavia, prendendo una curva qualsiasi si possono sempre costruire dei rettangoli e dei ribaltamenti della curva che pongono limiti ben chiari ai valori delle aree e fanno preferire, così a occhio per adesso, la metà del dy alla metà del dx.

    Se qualcuno vuol provare questa strada... (magari è già stata adottata... non ho voluto leggere le risposte precedenti...). Magari nel pomeriggio ho più tempo... (ho il garage da sgomberare e un paio di articoli d terminare...).

    Poi si può sempre usare il metodo della costruzione diretta e del taglia e confronta.... :mrgreen:

     

     

  12. umberto

    grazie Vincenzo, comunque non c'è fretta. Sono proprio curioso di scoprire come avrebbe risolto Euclide questo problema

  13. maurizio bernardi

    Caro Umberto, lascerei da parte il mio commento precedente che, come spiegato ad  Enzo, è frutto del dormiveglia notturno. Se mi torna in mente quello che intendevo dire te lo farò sapere.

    Invece vorrei postare un disegno relativo alla idea di Mauro che mi sembra molto buona.

    La figura al centro mostra la linea verde a metà tra le due rosse. In questo caso la linea blu delimita le due aree da sommare (quella azzurra, sotto la funzione, e quella gialla sopra)  Da notare che l'altezza finale della zona azzurra è identica alla altezza iniziale  della zona gialla.

    Nella figura a sinistra, la linea verde è spostata più in basso della metà  e la linea blu si sposta a sinistra rispetto a prima. l'area gialla aumenta della superficie che vediamo e l'area azzurra diminuisce in misura minore, perché ad ogni ordinata verso sinistra corrisponde una crescita di altezza per la zona gialla e una corrispondente diminuzione di altezza nella zona azzurra. In definitiva l'area globale aumenta.

    Nella figura a destra, la linea verde è spostata più in alto della metà, conseguentemente la linea blu passa a destra.  Anche qui le due aree gialla e azzurra si modificano. Ma questa volta è l'area azzurra ad aumentare più di quanto diminuisca l'area gialla. Il risultato è comunque un aumento dell'area totale.

    Dato che ogni spostamento a sinistra o a destra comporta un aumento dell'area totale rispetto alla posizione intermedia, questa posizione rappresenta la situazione di minimo cercata.

    Spero di avere interpretato correttamente quello che ho letto nel commento di Mauro e di non avere introdotto più confusione che chiarezza.

     

  14. qualcosa del genere...

    va bene...a più tardi... ho paura di spostare qualcosa e vedere uscire un dinosauro... l'epoca è quella (ossia quando ho messo a posto l'ultima volta...) :wink:

  15. Umberto

    più o meno così Maurizio; in effetti l'idea di Mauro è proprio buona. Chissà se esiste il modo di formalizzarla.

    Il metodo di  Arturo è accademico e rigorosamente ineccepibile; chissà se è possibile trovarne un altro che non faccia uso del calcolo differenziale-integrale. Comunque in ogni caso siamo quasi a cavallo.

  16. Fabrizio

    Mi butto su una soluzione geometrica.

    Ribalto la parte della figura a destra della linea blu  e traslo questa parte in modo da far coincidere le linee rosse.

    L'area che ci interesse è quella contenuta tra la linea di base e la nuova curva ottenuta.

    L'area ottenuta  posizionando la linea blu in un punto qualsiasi mi sembra che contenga sempre quella che otterrei posizionando la linea blu  nel punto dove la curva iniziale divide in due parti uguali il segmento tra le due linee rosse. Quindi quest'ultima è la minima area possibile.

    In questo momento non riesco a fare la figura. Provo più tardi a farla.

  17. umberto

    buona idea Fabrizio. Si, la figura serve senz altro

  18. Fabrizio sta andando nel mio verso... L'unico modo per avere un ribaltamento completo della curva si ha sulla retta y mediana. O sulla x mediana... basta confrontare queste due... Nel caso rettilineo coincidono... Proverò più tardi...

  19. Ho cinque minuti di tempo...

    Invece di far variare la x, faccio variare la y (deve essere la stessa cosa)...

    Le due aree limite sono l'area interna alla curva (y = 0) (praticamente il suo integrale) e Area rettangolo - Area curva (y = ymax). Muovendo la y, ottengo le due aree richieste che sono sempre l'integrale della curva al di sopra della retta y fino al valore di x corrispondente alla y (y = f(x)) e nuovamente la differenza di aree tra quella del rettangolo (comparso tra x e xmax e y e ymax) meno l'integrale della curva a partire da x fino a xmax al di sopra di y. Potrebbe darsi che non ci sia bisogno di fare realmente gli integrali... In pratica c'è un rettangolo da togliere ogni volta rispetto ai casi degeneri...

    Va beh... ci vorrebbe troppo tempo... lascio perdere...

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