Lug 17

Un quiz..rilassante.

Un quiz non troppo difficile , ma nemmeno troppo facile. In ogni caso spero sia rilassante. Sono però sicuro che verranno fuori in ogni caso discorsi interessanti.

Vogliamo trovare tutte le coppie di interi positivi  (x,y) tali che:

\dpi{200} \dpi{200} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}

Chiaramente sono ammessi tutti i metodi . Non è richiesta poi alcuna conoscenza particolare.

 

37 commenti

  1. dunque... semplicissimo!

    Scrivo un programmino (forse ne sarei ancora capace...) che fissa la x e fa variare la y. Poi cambia la x e via di nuovo con la y. La non troppo complicata relazione da verificare è:

    y + x = xy/6

    C'è bisogno che faccia variare x e y fino a infinito o quantomeno a miliardi di miliardi (tanto lo farebbe il computer)? Direi di no, dato che sommando due numeri di tre cifre otterrei un risultato già incompatibile con il prodotto dei due numeri (anche se diviso per 6). Posso perciò limitarmi a far variare x e y tra 1 (posso escludere lo zero) fino a 1000. Magari riuscirei a scriverlo col vecchio fortran... ma devo dire di essere soddisfatto? No, non lo sarei proprio e vado in cerca di una soluzione geometrica... :mrgreen:  :mrgreen:  :mrgreen:

  2. umberto

    a ognuno il suo metodo! Come dice il testo del quiz. Io invece sono fissato con l algebra.

  3. nel quiz precedente un programma andava bene e adesso non più... Dove sta la differenza? Ma sì, ma sì... un po' di algebra e di ragionamento va sempre bene... ma quando dico sempre, dico sempre... o dipende da altri fattori?

    :wink:

  4. umberto

    ribadisco quello che ho scritto nel testo: Sono ammessi tutti i metodi.

  5.  

    Siamo seri... basta ricavare una semplice funzione y = f(x)

  6. maurizio bernardi

    Che siano queste ?

    x        (   7          8         9        10        12        15       18     24      42  )

    y       (   42       24        18       15       12        10         9        8        7  )

     

     

  7. umberto

    a parte il fatto che chiaramente non posso rispondere, andrebbero scritte come coppia (x,y) Maurizio altrimenti non si capisce bene. Poi chiaramente bisogna specificare il metodo usato per trovarle.

  8. maurizio bernardi

    le coppie nella notazione richiesta sono queste :

    (7,42)  (8,24)  ( 9,18)  ( 10,15)  (12,12)   (15,10)  ( 18,9)   (24,8)   (42,7)

    Ovvia la simmetria attorno alla coppia (12,12)

    Metodo usato ?  Dato che il quiz invitava al rilassamento, ho ricavato y in funzione di x e poi, con excel ....

    Potrebbero esserci altre coppie ? A sensazione direi di no.  Intanto su questi risultati si possono già fare interessanti considerazioni che però lascio ad altri. Tutti hanno il diritto di rilassarsi.

     

     

     

  9. umberto

    ok intanto grazie mille Maurizio. Vediamo quanti metodi diversi vengono fuori. Sempre all insegna del rilassamento naturalmente!

  10. umberto

    in ogni caso non sottovalutate questo quiz che è si semplice ma può essere risolto in modo raffinato. Lo so, ricaviamo y in funzione di x sostituiamo i valori e poi vediamo quali valori sono interi. Ma qualcuno mi ha insegnato che in qualche prestigiosa università non badavano solo alla soluzione ma anche a come era stata trovata. Ciò è stato ribadito anche recentemente. Cerchiamo di introdurre un metodo che ci permetta di definire un range di valori possibili e la determinazione diretta di essi.

  11. Oh mamma mia! excel... ma lo studio di funzioni dov'è finito? E ho cercato di spiegarlo in lungo e in largo... a cosa è servito?????

    Penso di non essere più adatto al mondo di oggi e nemmeno al blog di adesso... lo posso abbandonare se questo è il nuovo stile (in questo periodo non piangerei nemmeno)

    Cosa c'è di più bello e semplice e divertente di studiare la funzione:

    y = 6x/(x-6) ?

    Con i suoi asintoti e compagnia bella? Poi se si vuole si prendono degli interi sia positivi che negativi (chissà perché li dobbiamo trascurare?)e si risponde alla domanda. Ma diventa cosa secondaria e fine a se stessa. Il vero problemino matematico è disegnare la funzione. E, invece, vediamo quello sgorbio che trae in inganno qualsiasi lettore che vorrebbe studiare giustamente una funzione. Per x = 6, la y vale un numero finito! E sembra che la curva non passi per l'origine... e via dicendo...

    No, io non ci sto più... matematica fine a se stessa non è rilassamento ma cadere nelle braccia di un programmino qualsiasi che non insegna un bel niente!

    Mi dispiace, amici cari... ma così, io non vado più avanti! Se qualcuno vuole il blog se lo prenda pure....

     

  12. E per concludere definitivamente... qualsiasi funzione può essere rappresentata andando avanti per punti (invece che interi possiamo mettere decimali con un dx piccolo a piacere). Chi me l'ha fatto fare a scrivere decine e decine di pagine per arrivare allo studio di una funzione? Basta chiedere a excel e pazienza se spariscono gli asintoti e i flessi e cose del genere... No, basta! Non posso più accettare questo svilimento assoluto dell'algebra e non solo. Rilassamento NON PUO' VOLER DIRE: "faccia tutto uno stupido programmino e al diavolo il significato finale..." Almeno in quello che era il "mio" blog...

  13. maurizio bernardi

    La soluzione si ottiene manualmente senza dover studiare rigorosamente la funzione e senza demandare a programmi i facili calcoli da fare. Probabilmente esistono modi più raffinati e formalmente eleganti, tuttavia posso dire  che ...

    1/x  +  1/y   = 1/6          può essere scritto  come  1/12  +  1/12  = 1/6     (significa  x=y =12 )      coppia (12,12)

    diminuendo progressivamente il denominatore del primo termine ( ossia la x ) di 1  avrò sempre valori di x interi e ricavando y posso verificare se anche questo valore è intero.     Infatti     1/y  = 1/6 - 1/x   ossia y = 6x/(x-6).

    1/11 +1/y  = 1/6          ricavo  y =   66/5  non è intero

    1/10  + 1/y = 1/6                     y = 60/4 = 15         coppia (10,15)

    1/9 +1/y  =  1/ 6                     y = 54/3  = 18         coppia (9,18)

    1/8 + 1/y  = 1/6                      y = 48 /2  =24        coppia (8,24)

    1/7  +1/y  =1/6                       y = 42/  1  = 42       coppia (7,42)

    A questo punto, assegnando a x il valore 6, avremmo uno zero al denominatore della y.

    Se poi scendessimo ulteriormente con la x avremmo valori di y negativi, non richiesti.

    Le coppie trovate sono quindi 5  a cui vanno aggiunte altre 4 coppie ottenute invertendo x e y  laddove i valori di x e y sono diversi.

     

  14. Studiando la funzione salta subito all'occhio che 7 e 42 sono i limiti, dato che c'è un asintoto per x= 6 e y = 6...

    Basta poi spostare gli assi per avere y=36/x, una bella iperbole con tutto quello che segue... I limiti diventano, ovviamente 1 e 36. E basterebbe scomporre 36 per avere subito i risultati interi.

    Mi spiace, ma excel è proprio una scelta modernamente moderna, ma del tutto insipida... almeno in questo caso...

     

  15. Maurizio Bernardi

    I risultati interi  che si ottengono scomponendo il 36 vanno arricchiti  (per via della traslazione eseguita) in modo da ottenere le coppie (7,42) e  (10,15) con le loro simmetriche.

     

  16.  

    y = 36/x

    y = 2 2 3 3/x

    x = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

    basta poi aggiungere 6... caro excel, quanti calcoli inutili...

    Invito caldamente a formulare i quiz (meglio diminuirli comunque se non escluderli del tutto) in modo che la soluzione sia legata alla logica e alla valutazione dell'importanza matematica o geometrica o fisica. Risolvere una funzione per punti dovrebbe essere cosa assurda per questo blog, almeno fino a che ci sarà il mio nome. Se non in casi più che necessari... Ma questo non lo era certamente...

  17. A me sembra proprio di no... 36 + 6 = 42 e 9 + 6 = 15

  18. Mi sento in obbligo, per i lettori meno esperti, di esplicitare meglio il ragionamento basato sullo studio di una funzione.

    La relazione di partenza equivale a dire:

    y  = 6x/(x-6)

    si potrebbe studiare questa curva e vedere subito i suoi asintoti orizzontali e verticali.

    Ancora meglio è, però, fare una trasformazione di coordinate e porre:

    X = x - 6

    Y = y - 6

    si ottiene, sostituendo:

    Y + 6 = 6(X + 6)/(X + 6 - 6) = (6X + 36)/X

    XY + 6X = 6X + 36

    XY = 36

    Y = 36/X

    Y = 3 3 2 2/X

    Le possibili X sono quelle che dividono esattamente il numeratore dando un numero intero come risultato:

    X = 1, 2, 3, 4,6, 9, 12, 18, 36

    da cui

    Y =36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1

    Basta poi fare

    x = X + 6

    y = Y + 6

    per avere le coppie richieste...

    Ma, intanto, è quasi obbligatorio calcolare gli asintoti, fare qualche limite destro e sinistro e capire con che funzione abbiamo a che fare. Infine, come divertimento puro (o rilassamento) si possono facilmente trovare le coppie richieste che sono sicuramente le SOLE positive (excel non dava certezza) per la stessa definizione di iperbole.

    Buon divertimento, ma intelligente e istruttivo, sempre e comunque. Qualsiasi quiz deve servire per imparare o ripassare qualcosa, non certo solo per rispondere... altrimenti viva Celestia! :roll:  8-O  :mrgreen:

     

  19. umberto

    mi sembra che anche il tuo ultimo quiz sia stato formulato male allora, visto che anche li é stato usato Excel. Io non sono una persona autoritaria, quindi ho lasciato la più ampia libertà di soluzione. Quella frase te la potevi anche risparmiare. Il fatto poi che abbia avuto una soluzione logica matematica prova proprio il contrario.

  20. e mi sembra che anche in quel caso avevo detto le stesse cose... anche se il problema era molto meno risolvibile con la pura logica, come questo. Il fatto che tu possa lasciare libera la scelta non mi sta per niente bene. Se io facessi un quiz in cui chiedo di ricavare la massa della terra a partire da certi dati e uno mi rispondesse andando a vedere il risultato su celestia, sarebbe ammesso? No, non servirebbe a niente e così è lasciare la libertà di andare per punti. E'una questione di divulgazione istruttiva. Non facciamo le gare, ma cerchiamo di insegnare a ragionare e a riflettere su cosa si è imparato. Forse non sono riuscito a far comprendere lo spirito del blog. Colpa mia, ma ho cercato di dirlo in tutti i modi possibili.

    Se poi questo vuol dire essere autoritario... lascio che siano i lettori a dirmi di smettere...

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