Set 11

Il binomio di Newton ***

Dopo mesi di ripensamenti ho deciso di affrontare il binomio di Newton. Non per una questione storica, e nemmeno per calcolare potenze di binomi con un esponente molto grande, ma perchè lo sviluppo di tale binomio interviene in molte importanti dimostrazioni di teoria dei numeri (finito qui ne vedremo subito una che riguarda ,il numero di Nepero).

Qual' è il problema che si pose Newton? Dato il binomio (a+b), esiste una formula che esprime la sua ennesima potenza?

Sappiamo che per il quadrato \dpi{120} (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} la formula esiste e così pure per il cubo :\dpi{120} (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Notiamo però che queste formule sono mnemoniche, e derivano sostanzialmente dalla semplice esecuzione dei due prodotti e dal raccoglimento dei termini simili. Il binomio di Newton deve essere un'altra cosa, ovvero un procedimento , un algoritmo eseguibile perfino da un computer, e valido qualsiasi sia n.

Solitamente le dimostrazioni sono due; una richiede la conoscenza del calcolo combinatorio, l'altra si fa per induzione, ma non è affatto costruttiva, è solo una verifica. La prima dimostrazione potete trovarla su qualsiasi testo di analisi, ed è sempre la stessa. Per ora non scrivo nemmeno la formula; mi ricordo che ha un impatto negativo su chi la vede per la prima volta, essendo complessa e contenendo più di un indice.

Visto che abbiamo trattato poco il calcolo combinatorio, ho scritto un altro tipo di dimostrazione, che per me è più lineare e intuitiva, e fa uso solo del concetto di permutazione. Non so se esista in letteratura. In ogni caso qui potete trovare qualcosa di genericamente utile per gli altri elementi del calcolo combinatorio, anche se adesso possiamo anche farne a meno.

Come possiamo fare la potenza generica n di un binomio?  Bè ,semplicemente moltiplicando il binomio per se stesso n volte:

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).....(a+b)

----------------n volte-------------------

quanti saranno i fattori del binomio? Fissiamo ad esempio n=3. E' come se avessimo il prodotto cartesiano di insiemi tutti uguali (che chiamiamo F,che sta per fattore) con due elementi, a,b:

F x F x F  . Chiaramente abbiamo delle terne in cui il primo, il secondo, il terzo elemento si possono scegliere in due modi diversi. Segue che tali elementi sono \dpi{120} \dpi{120} 2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8

In generale, se abbiamo n fattori, tali elementi saranno \dpi{120} 2^{n}. Chi non è convinto di questo lo può provare semplicemente per induzione.

Proviamo a vedere nel caso n=3 quali sono tali fattori, grazie alla proprietà distributiva del prodotto.

a a a
a a b
a b a
a b b
b b b
b b a
b a b
b a a

Notiamo che vengono creati dei monomi di grado 3; infatti a e b possono comparire 0,1,2,3 volte. Ma in totale il grado è 3.

Tra i 2^{n} monomi ne troviamo di simili, in particolare quelli distinti sono n+1.

In generale, se parliamo di n fattori, possiamo scrivere il monomio generico in questa forma:

\dpi{120} \dpi{120} a^{n-k}\cdot b^{k} dove k varia da zero a n, ovvero k=0,1,...n. Il grado di questo monomio è infatti n-k+k=n. Notiamo poi che nello sviluppo, come si fa nel quadrato e nel cubo, i termini simili vengono sommati. Sono infatti monomi che differiscono solo per l'ordine; nel caso n=3 per k=2 abbiamo aab,aba,baa che rappresentano tutti il monomio \dpi{120} a^{2}\cdot b.  Quindi senz'altro la nostra formula conterrà una somma di monomi del  tipo \dpi{120} C_{n,k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k} , e sarà eseguita da o a n, quindi conterrà n+1 termini;  resterà il problema di trovare questi coefficienti, che senz'altro dipenderanno da n e da k.  Un piccolo intermezzo nella dimostrazione, riprendiamo un concetto noto quasi a tutti:

Le  permutazioni e il fattoriale. 

A mio avviso , il modo più naturale di introdurre le permutazioni è il calcolo del numero di anagrammi (anche senza senso) che si possono  fare con una certa parola, in cui le lettere sono tutte distinte.Gli anagrammi sono dunque un ottimo esempio di permutazione. Consideriamo ad esempio la parola  baro ; quante sono le parole che posso ottenere permutando, cioè cambiando di posizione le lettere? Essendo le lettere distinte, vado a pescare la prima lettera da un insieme di 4 elementi, la seconda da uno di tre, la terza da uno di 2 e la quarta viene di conseguenza. Abbiamo in tutto  4*3*2*1=24 modi possibili, costituito dal prodotto dei primi 4 numeri interi. Tale numero si indica con 4! e si legge "quattro fattoriale". In generale , se una parola ha n lettere, avremo n! permutazioni. Chiamando Pn il numero di permutazioni di n elementi, si avrà:

\dpi{120} P_{n}=n! dove, come abbiamo detto, n!=(n-1)*(n-2)....*3*2*1 .

Il problema degli anagrammi.

Gli anagrammi sono dunque delle permutazioni quando le lettere sono tutte distinte.

E se le lettere non sono tutte distinte? Pensiamo agli anagrammi della parola bara; in questo caso gli anagrammi distinti sono di meno*. Infatti la lettera è sempre quella,cioè ha lo stesso significato, ma in realtà la seconda è distinta dalla prima; immaginiamola di diverso colore.  Fissata una posizione per le due consonanti b,r avremo due  anagrammi uguali ma due diverse permutazioni .Per esempio  braa, braa  sono lo stesso anagramma . Si pone il problema di contare tali permutazioni, dette con ripetizione, che sono, come nell'esempio, di meno di quelle normali.

*(Attenzione a non confondersi: abbiamo n elementi, di cui k possono rappresentare la stessa lettera nel senso alfabetico. Ciò non toglie che  questi k siano elementi  distinti.)

Supponiamo per comodità di prendere una parola (senza senso) con 3 lettere b e una lettera a. Individuiamo i raggruppamenti che danno luogo a parole distinte:

P_{4}^{3}\begin{Bmatrix} abbb\\ babb\\ bbab\\ bbba \end{Bmatrix}\cdot 3!

(Attenzione che questa scrittura non ha nessun senso matematico; è solo uno schema logico).

Chiamiamo P_{4}^{3} il numero di anagrammi (distinti) di una parola di  4 lettere di cui tre ripetute.

Abbiamo individuato i quattro raggruppamenti che formano parole distinte. Che relazione c'è con tutte le possibili permutazioni? nella parola abbb le lettere  b che vi compaiono sono distinte, pur avendo lo stesso significato. Tali lettere possono essere permutate in 3! modi diversi,ovvero occupare posizioni diverse, generando permutazioni diverse.Lo stesso vale per gli altri tre raggruppamenti. Moltiplicando allora P_{4}^{3}  * 3! otteniamo tutte le permutazioni di lettere distinte. Quindi P_{4}=P_{4}^{3} \cdot 3! da cui si ricava:

P_{4}^{3} =\frac{P_{4}}{3!} che dà proprio 4!/3!=4

In generale, supponiamo di avere n elementi di cui k ripetuti. Vogliamo trovare il numero di raggruppamenti (anagrammi) distinti. Non conosciamo tale numero, che sarà indicato con P_{n}^{k} ed è la nostra incognita. Sappiamo solo che moltiplicando tale numero per k! otteniamo tutte le permutazioni. Per cui:

P_{n}^{k}\cdot k!=P_{n} da cui ricaviamo che:

P_{n}^{k}=\frac{P_{n}}{k!}=\frac{n!}{k!}

E se le lettere ripetute fossero più di una, ad esempio due?

Siano k1,k2* le volte che vengono ripetute. Indichiamo con P_{n}^{k_{1},k_{2}} il numero che cerchiamo. Deve sempre essere:

P_{n}=P_{n}^{k_{1},k_{2}}\cdot k_{1}!\cdot k_{2}!

e quindi:

P_{n}^{k_{1},k_{2}}=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!}

Tale formula si può ancora estendere a più valori di k, ma a noi basta così per i nostri scopi.

*(chiaramente k1+k2<=n)

Esempio

Consideriamo la parola MASSA .n=5. le permutazioni sono 5! A viene ripetuta due volte, come S.Gli anagrammi della parola (anche senza significato)sono pertanto:

P_{5}^{2,2}=\frac{5!}{2!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{2}=30

Finiamo la dimostrazione.

Sappiamo che dobbiamo, per ogni k=0,1,..n, trovare quanti sono i monomi \dpi{120} \dpi{120} a^{n-k}\cdot b^{k} al variare di k.  E' più facile di quanto si creda, dopo aver letto le definizioni e considerazioni precedenti; sono semplicemente le permutazioni ripetute di n elementi, in cui gli unici due elementi che le compongono si ripetono rispettivamente n-k e k volte. Quindi:

P_{n}^{n-k,k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}.  Tali coefficienti prendono ovviamente il nome di "coefficienti binomiali" o di combinazioni semplici, e si indicano anche con C_{n,k}.* Cosa ci resta da fare? Sommare tutti i monomi con i loro coefficienti per k che va da zero a n. Poniamo 0!=1 per definizione. Otteniamo,sommando e sostituendo a k i valori 0,1,...,n:

(a+b)^{n}=1\cdot a^{n}+\frac{n!}{(n-1)!\cdot 1!}a^{n-1}\cdot b^{1}++\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}a^{n-2}\cdot b^{2}+.....+1\cdot b^{n} ovvero:

(a+b)^{n}= a^{n}+\frac{n!}{(n-1)!\cdot 1!}a^{n-1}\cdot b^{1}++\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}a^{n-2}\cdot b^{2}+.....+ b^{n}

o in forma compatta:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}a^{n-k}\cdot b^{k}. Ecco qui la formula del binomio di Newton!

Vediamo che per n=2 o n=3 otteniamo ;

(a+b)^{2}=a^{2}+\frac{2!}{1!\cdot 0!}\cdot a^{2-1}\cdot b^{1}+b^{1}=a^{2}+2ab+b^{2} (sostituendo a k 0,1,2)

(a+b)^{3}=a^{3}+\frac{3!}{(3-1)!\cdot 1!}\cdot a^{3-1}\cdot b^{1}+\frac{3!}{(3-2)!\cdot 2!}\cdot a^{3-2}\cdot b^{2}+b^{3}=a^{3}+ 3ab^{2}+3a^{2}b+b^{3}

(sostituendo a k 0,1,2,3..).

Come anticipato, non useremo la formula del binomio di Newton per calcolare le potenze di binomi. Essa interviene spesso in dimostrazioni analitiche, soprattutto per maggiorare certe potenze. Determinate proprietà dei coefficienti binomiali portano ad una costruzione ricorsiva degli stessi, con un metodo grafico noto come triangolo di Tartaglia. Essi servono per un rapido calcolo dei coefficienti e quindi dello sviluppo. Forse un giorno tratteremo questi approfondimenti.

 

  • C' è ancora un'altra scrittura per i C_{n,k} ed è la seguente: C_{n,k}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}. Preferisco non fare troppo confusione, possiamo usare anche sempre il rapporto \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}.

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