1/11/19

Dolcetto o scherzetto? *

No, non mi sono adattato a una festa puramente consumistica, ma approfitto della data per proporvi un semplicissimo scherzetto matematico (ma è davvero uno scherzetto o c'è qualcosa di più profondo?).

Disegniamo un triangolo scaleno qualsiasi ABC nella figura che segue

equi

Tracciamo la bisettrice dell'angolo BAC (verde) e l'asse del lato BC (blu). Esse si incontrano  nel punto K. Tracciamo le congiungenti K con B e C. KB deve essere uguale a KC dato che K appartiene all'asse di BC. Tracciamo le perpendicolari da K alle rette AB e AC e troviamo i punti B' e C'. Anche KC' = KB' dato che K appartiene alla bisettrice.

Ne segue che i triangoli rettangoli KBB' e KCC' sono uguali, dato che hanno due lati uguali. Possiamo perciò scrivere:

BB' = CC'

Consideriamo adesso i triangoli AC'K e AB'K. Anche essi sono uguali, essendo rettangoli e avendo due lati uguali. Possiamo allora scrivere:

AB' = AC'

Scriviamo le espressioni:

AB = AB' - B'B

AC = AC' - CC'

Ma, AB' = AC' e B'B = CC', per cui

AB = AC.

Se ne deduce che il triangolo ABC è isoscele...

Potremmo ripetere la costruzione per gli altri due angoli del triangolo ABC (abbiamo scelto un suo angolo a caso) e trovare che tutti lati sono uguali e che quindi il triangolo ABC è addirittura equilatero!

Scherzetto o ... dolcetto?

Soluzione QUI

8 commenti

  1. MarcoC

    Forse l'errore è qui "Ne segue che i triangoli rettangoli KBB' e KCC' sono uguali, dato che hanno due lati uguali."

    L'angolo uguale dovrebbe essere quello compreso tra i lati uguali.

  2. caro MarcoC,

    se due triangoli sono rettangoli e hanno uguali l'ipotenusa e un cateto devono essere uguali. D'altra parte l'altro cateto lo trovi con Pitagora e il risultato dà  proprio che BB' = CC'

  3. MarcoC

    Opss.... è vero. Mi cospargo il capo cenere.

  4. ma che sia cenere fredda...  :mrgreen:

  5. Francesco

    Diciamo imbroglietto: ho tracciato un po' di triangoli scaleni. A me risulta sempre che quando traccio le rette dal punto di intersezione tra la bisettrice e l'asse del lato opposto, perpendicolari ai due lati del triangolo, l'intersezione una volta è all'interno del lato, una volta all'esterno (stiamo parlando dei punti B' e C').

    Quindi, quando riscrivi AB e AC, una è differenza tra i due segmenti trovati, l'altra è la somma

  6. Francesco

    Per completezza adesso mi tocca spiegare il perché

  7. vorresti dire che non ho fatto bene il disegno?  :mrgreen:

    Forse hai proprio ragione... :roll:

    Pensa all'anello,,, tu ce la puoi fare di sicuro, anche con l'astronave talpona...

  8. caro Francesco,

    per provarlo puoi sempre prendere un triangolo rettangolo (deve poter capitare per ogni triangolo...) e  bastano poche considerazioni...

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