Categorie: Matematica
Tags: asse bisettrice dolcetto scherzetto triangoli equilateri triangoli isosceli triangoli scaleni triangoli uguali
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
Dolcetto o scherzetto? *
No, non mi sono adattato a una festa puramente consumistica, ma approfitto della data per proporvi un semplicissimo scherzetto matematico (ma è davvero uno scherzetto o c'è qualcosa di più profondo?).
Disegniamo un triangolo scaleno qualsiasi ABC nella figura che segue
Tracciamo la bisettrice dell'angolo BAC (verde) e l'asse del lato BC (blu). Esse si incontrano nel punto K. Tracciamo le congiungenti K con B e C. KB deve essere uguale a KC dato che K appartiene all'asse di BC. Tracciamo le perpendicolari da K alle rette AB e AC e troviamo i punti B' e C'. Anche KC' = KB' dato che K appartiene alla bisettrice.
Ne segue che i triangoli rettangoli KBB' e KCC' sono uguali, dato che hanno due lati uguali. Possiamo perciò scrivere:
BB' = CC'
Consideriamo adesso i triangoli AC'K e AB'K. Anche essi sono uguali, essendo rettangoli e avendo due lati uguali. Possiamo allora scrivere:
AB' = AC'
Scriviamo le espressioni:
AB = AB' - B'B
AC = AC' - CC'
Ma, AB' = AC' e B'B = CC', per cui
AB = AC.
Se ne deduce che il triangolo ABC è isoscele...
Potremmo ripetere la costruzione per gli altri due angoli del triangolo ABC (abbiamo scelto un suo angolo a caso) e trovare che tutti lati sono uguali e che quindi il triangolo ABC è addirittura equilatero!
Scherzetto o ... dolcetto?
Soluzione QUI
8 commenti
Forse l'errore è qui "Ne segue che i triangoli rettangoli KBB' e KCC' sono uguali, dato che hanno due lati uguali."
L'angolo uguale dovrebbe essere quello compreso tra i lati uguali.
caro MarcoC,
se due triangoli sono rettangoli e hanno uguali l'ipotenusa e un cateto devono essere uguali. D'altra parte l'altro cateto lo trovi con Pitagora e il risultato dà proprio che BB' = CC'
Opss.... è vero. Mi cospargo il capo cenere.
ma che sia cenere fredda...![:mrgreen:](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-includes/images/smilies/icon_mrgreen.gif)
Diciamo imbroglietto: ho tracciato un po' di triangoli scaleni. A me risulta sempre che quando traccio le rette dal punto di intersezione tra la bisettrice e l'asse del lato opposto, perpendicolari ai due lati del triangolo, l'intersezione una volta è all'interno del lato, una volta all'esterno (stiamo parlando dei punti B' e C').
Quindi, quando riscrivi AB e AC, una è differenza tra i due segmenti trovati, l'altra è la somma
Per completezza adesso mi tocca spiegare il perché
vorresti dire che non ho fatto bene il disegno?![:mrgreen:](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-includes/images/smilies/icon_mrgreen.gif)
Forse hai proprio ragione...![:roll:](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-includes/images/smilies/icon_rolleyes.gif)
Pensa all'anello,,, tu ce la puoi fare di sicuro, anche con l'astronave talpona...
caro Francesco,
per provarlo puoi sempre prendere un triangolo rettangolo (deve poter capitare per ogni triangolo...) e bastano poche considerazioni...