12/06/20

Niente computer o calcolatrici ***

Categorie: Matematica Tags: algebra elementare calcoli a mente quiz Scritto da: Vincenzo Zappalà Commenti:12

Sto vedendo che i quiz semplici mietono poco successo. Va bene... presentiamone uno che potrà interessare anche i più bravi in matematica (ma tutti possono provare a risolverlo). Bisogna calcolare un'espressione SENZA utilizzare computer o calcolatrici, solo carta e penna, un minimo di algebra e ... facilissimi calcoli mentali (basta la tabellina pitagorica).

L'espressione da risolvere è la seguente:

√(500 · 501 · 502 · 503 + 1) = ?

Varie soluzioni, tutte plausibili, le trovate nei commenti.

12 commenti

Marco

12/06/2020 at 12:17

Consideriamo la seguente espressione:

√[(n-3/2)(n-1/2)(n+1/2)(n+3/2)+1]=

Raggruppiamo per utilizzare i prodotti notevoli:

=√[(n-3/2)(n+3/2)(n-1/2)(n+1/2)+1]=

Utilizziamo (a+b)(a-b)=a²-b²:

=√(n²-9/4)(n²-1/4)+1]=

Moltiplichiamo i polinomi:

=√[n⁴-(1/4)n²-(9/4)n²+9/16+1]=

Sommiamo i termini simili:

=√[n⁴-(5/2)n²+25/16]=

Sotto radice è presente il quadrato di un binomio:

=√[(n²)²-2(5/4)n²+(5/4)²]=√[(n²-5/4)²]=

Semplifichiamo la radice con il quadrato:

=|n²-5/4|=

Supponiamo che sia n²>5/4:

=n²-5/4.

Quindi √[(n-3/2)(n+3/2)(n-1/2)(n+1/2)+1]=n²-5/4. Nel quiz proposto, n-3/2=500, ovvero n=500+3/2. Quindi

√(500·501·502·503+1)=(500+3/2)²-5/4=500²+2·500·3/2+(3/2)²-5/4=250.000+1.500+9/4-5/4=250.000+1.500+1=151.501
Marco

12/06/2020 at 12:20

Ovviamente, alla fine va corretto "250.000+1.500+1=151.501" in "250.000+1.500+1=251.501", scusate.
Vincenzo Zappalà

12/06/2020 at 13:51

Caro Marco,

non ci sarebbe bisogno di rispondere dato che è facile verificare il risultato con una calcolatrice qualsiasi... Bravo!!! Tra un po' te ne offro un altro anche peggiore...

Forse hai fatto perfino dei calcoli più difficili del previsto... aspettiamo a vedere se qualcuno ci prova senza leggere i commenti...
Vincenzo Zappalà

12/06/2020 at 14:00

Eh sì, caro Marco... ho controllato meglio i passaggi e devo dirti che l'operazione più difficile da fare è una moltiplicazione di un numero molto piccolo per 3 e il quadrato dello stesso numero (a parte gli zeri...). Comunque, praticamente anche tu hai fatto lo stesso dopo qualche semplificazione di radicali... Ribravo!!!
Marco

12/06/2020 at 14:11

Confesso, però, di aver barato un po' all'inizio: prima ho fatto il calcolo con il foglio elettronico, poi ho provato a cambiare il valore iniziale, scoprendo che il risultato veniva sempre intero. Così ho capito che c'era qualcosa sotto che non dipendeva dal valore iniziale (500), ma dalla formula in sé; e così, dopo aver verificato in modo induttivo che il radicando era sempre un quadrato, ho cercato dare una dimostrazione deduttiva della cosa.
Fabrizio

12/06/2020 at 15:19

Ho notato che 2*3*4*5+1=120+1=121 cioè $11^2=(2*5+1)^2$

Sembrerebbe che lo stesso valga nel nostro caso. La soluzione indicata da Marco può essere scritta come 500*503+1=250000+1500+1=251501.

A ritroso si può dimostrare sviluppando questa uguaglianza

$x (x+1)(x+2)(x+3)+1=(x(x+3)+1)^2=(x^2+3x+1)^2$

$x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+9x^2+1+6x^3+2x^2+6x$

$x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+6x^3+11x^2+6x+1$

che risulta vera per ogni x.

Non sono riuscito a trovare lo sviluppo in avanti. Cioè quello che porta da

$x (x+1)(x+2)(x+3)+1$ a $(x(x+3)+1)^2$
Vincenzo Zappalà

12/06/2020 at 16:01

caro Marco... per il fatto stesso di aver ammesso di avere un po' barato ti meriti comunque il bravo! Però, però, a questo punto sei obbligato fare una semplificazione in più!!!
Vincenzo Zappalà

12/06/2020 at 16:02

caro Fabry... dai che ce la puoi fare facilmente...
Arturo Lorenzo

12/06/2020 at 16:09

se pongo 500=x, allora ho:

$\sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1}$

eseguendo i calcoli sotto radice ottengo:

$x^{4}+6x^3+11x^2+6x+1$

che posso scrivere come:

$x^4+9x^2+1+6x^3+2x^2+6x$

i primi tre termini sono i quadrati rispettivamente di x^2, 3x e 1. In tutto ho 6 termini, quindi mi chiedo se per caso non sono davanti al quadrato del trinomio (x^2+3x+1) . E infatti:

$6x^3=2*x^2*3x$

$2x^2=2*x^2*1$

$6x=2*3x*1$

Quindi, ricordando la formula del quadrato di un trinomio, ottengo:

$(x^2+3x+1)^2$

ma, allora, la mia radice iniziale diventa semplicemente:

$(x^2+3x+1)$

e quindi, sostituendo ora x con 500, ottengo come $(500^2+1500+1)=(250000+1500+1)=251501$
Vincenzo Zappalà

12/06/2020 at 16:15

BRAVO ARTU' !!!! Perfetto...

Vi meritate un quiz un po' più difficile... Complimenti a tutti e tre!!!
Fabrizio

13/06/2020 at 09:48

Il modo diretto che cercavo potrebbe essere questo. Scrivo per esteso i passaggi del ragionamento.

Dal fatto che anche 2 3 4 5+1=121 posso supporre che ogni espressione nella forma

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ sia il un quadrato di un polinomio in x. Nel quesito del quiz x=500 nell'espressione sopra x=2, ma potrebbe essere qualsiasi altro numero.

Vale a dire che sto cercando cosa mettere al posto di p(x) in questa espressione, ammesso che un p(x) possa esistere.

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(p(x))^2\,\,\,\,\,\,\,\,p(x)=?$

Faccio alcune considerazione sul termine a sinistra.

Il polinomio a sinistra è di 4 grado. Quindi il quadrato di p(x) dovrebbe dare un polinomio di 4 grado. Quindi p(x), se esiste, deve essere un polinomio di 2 grado. Lo scrivo nei termini più generali come $ax^2+bx+c$

Il termine noto a sinistra è 1. Ne segue che anche il termine noto di p(x) debba essere 1. Solo in questo modo il suo quadrato avrà un termine noto uguale a 1. L'unico termine senza x nel quadrato di $ax^2+bx+c$ sarà $c^2$ . Quindi c=1.

Il coefficiente di $x^4$ a sinistra è 1. Il coefficiente di $x^4$ nel quadrato di p(x) è $a^2$ . Quindi a=1.

Quindi mi rimane da verificare che esiste un b che soddisfa l'equazione (qui l'incognita è b):

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+bx+1)^2\,\,\,\,\,\,\,\,b=?$ A questo punto occorre sviluppare i due termini

$x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+b^2x^2+1+2bx^3+2x^2+2bx$ $x^4+{\color{Red} 6}x^3+{\color{Blue} 11}x^2+{\color{Green} 6}x+1=x^4+{\color{Red} 2b}x^3+{\color{Blue} (2+b^2)}x^2+{\color{Green} 2b}x+1$

Quindi occorre trovare b tale che 3b=6 e $2+b^2=11$ . Se b=3 soddisfa tutte e due le ralazioni. Quindi effettivamente il p(x) che cercavo esiste ed è $x^2+3x+1=x(x+3)+1$

In effetti dalle considerazione sopra si potrebbe ricavare anche che a=-1 e c=-1. Se scegliessi tutti e due -1 otterrei semplicemenete il caso opposto, cioè b=-1. Ma è ovvio che elevando al quadrato p(x) è indifferente scegliere p(x) o -p(x).

Più interessante è il caso con a=-1 e c=1 o a=1 e c=-1. Prendo il secondo e rifaccio i passaggi come sopra:

$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+bx-1)^2\,\,\,\,\,\,\,\,b=?$

$x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+b^2x^2+1+2bx^3-2x^2-2bx$

$x^4+{\color{Red} 6}x^3+{\color{Blue} 11}x^2+{\color{Green} 6}x+1=x^4+{\color{Red} 2b}x^3+{\color{Blue} (-2+b^2)}x^2{\color{Green} -2b}x+1$

Per questo caso non esiste un b adatto. Quindi non esiste una soluzione di questo tipo.
Vincenzo Zappalà

13/06/2020 at 11:15

ottima analisi Fabry... anche una semplice espressione può dare luogo a sviluppi più interessanti del previsto.

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