Giu 22

Per qualsiasi numero intero basta il pi greco ****/******

Questa volta voglio accontentare i più bravi ed ecco un bel quiz matematico con quattro asterischi che possono anche diventare sei per i bravissimi (e molto fantasiosi).

Lo scopo finale è quello di usare quattro volte pi greco e ottenere qualsiasi numero intero (anche negativo, volendo). Su pi greco possono essere applicate tutte le operazioni che ci permette di eseguire una semplice "vecchia" calcolatrice come quella che ho davanti gli occhi e che risale a circa 30 anni fa (ma forse anche di più e funziona perfettamente).

Per essere più chiari: oltre alle quattro classiche operazioni, possiamo calcolare direttamente il quadrato, la radice quadrata, l'esponenziale, il logaritmo naturale, il logaritmo in base 10, il seno, il coseno, la tangente, l'arcoseno, l'arcocoseno e l'arcotangente. Niente di più! Bene, possono, allora, essere utilizzate solo queste operazioni.

Ribadiamo che nella formula che permette di scrivere qualsiasi numero intero deve comparire SOLTANTO quattro volte il pi greco, ed essi (i pi greco) devono essere legati tra loro da operazioni eseguibili con una semplicissima calcolatrice. In altre parole, quattro pi greco, se ben elaborati, possono regalarci qualsiasi numero intero!

N.B.: La soluzione potrebbe -forse- trovarsi  direttamente, ma sarebbe più conveniente andare per gradi. La prima parte ci collega a una soluzione simile, data da uno dei massimi studiosi della meccanica quantistica (anche a lui piacevano i quiz).  Per chi la ricorda, il problema scende di livello. Per chi non la ricorda le cose si complicano alquanto... (6 asterischi... ma forse anche di più dato che chi l'ha trovata non era certo uno qualsiasi). Tuttavia, inserisco la parte dovuta al genio nel suggerimento nascosto. Dopo di che, la soluzione si porta dietro, comunque, i suoi quattro asterischi.

Insomma fate voi...

Ah... questo pi greco ne sa una più del diavolo!!

 

QUI la soluzione

 

45 commenti

  1. Karl

    Non so se nella formula del suggerimento si riferisse agli interni positivi. Sennò basta cambiare il segno. Sta di fatto che quella formula e valida qualsiasi sia la base, sostituendo poi alla radice 1/p-greco. Non so però se per descriverla siano sufficienti quattro p . Non so, mi sembra troppo semplice, almeno questa parte del quiz.

  2. bastano i quattro pi greco... se poi la trovi semplice, ancora meglio!

  3. aggiungo... non tutte le basi vanno bene. Attenzione...

  4. Karl

    Non riesco a scriverla qui. Comunque il fattore nell' ultima parentesi va elevato a n/pgreco. Il fattore è pgreco

  5. Karl

    n = log_{\pi}(log_{\pi}(\pi^{\frac{n}{\pi}})

    Con un po' di fatica.. questa e per gli interi negativi

  6. Karl

    naturalmente la base di un logaritmo deve essere positiva. La formula per gli interi positivi deve avere il segno meno davanti

  7. scusa Karl, ma tu hai una calcolatrice che sa fare i logaritmi in base pigreco? Non basta ancora, direi... :roll: :-P

    Poi come avevo già detto l'altra volta... vanno spiegati tutti i passaggi (mai dare per buoni troppi concetti, specialmente nei commenti)

    In ogni caso la tua risposta ha usufruito della prima parte con aiuto... Aspettiamo a vedere se qualcuno riuscirà ad arrivare anche al primo risultato (fondaìmentale) :wink: .

    Per i passaggi si può usare benissimo il word senza il latex... è più sicuro che non sparirà, anche se ci vuole un po' di concentrazione...

  8. Inoltre, sei proprio sicuro del risultato?

  9. Karl

    Chiedo scusa ma latex con il cellulare non è il massimo:n = log_{\pi}(log_{\pi}(\pi^{\frac{1}{\pi^{n}}}))

    Dovrebbe essere la volta buona

  10. Karl

    Non ho word. Fra l altro adesso ho solo un cellulare. Comunque anche se la calcolatrice non ha i logaritmi in base p-greco, basta applicare poi per calcolare la formula del cambiamento di base.

  11. Karl

    E stato un po' problematico, ma ecco i passaggi

    n=-nlog_{\pi}(log_{\pi}(\pi^{\frac{1}{\pi^{n}}}))=-log_{\pi}(\frac{1}{\pi^{n}}log_{\pi}\pi)=-log_{\pi}(\frac{1}{\pi})^{n}\cdot 1=-log_{\pi(\pi^{-n})}=-log_{\pi}(\pi)(-n)=-1\cdot (-n)=n

  12. Per seguire i passaggi di Karl, ricordiamoci la definizione di logaritmo: il logaritmo di un numero è l'esponente che bisogna dare alla base (pi greco nel nostro caso) per ottenere il numero . A titolo di esempio se ho il log in base  pi greco di pi greco, devo trovare l'esponente che bisogna dare a pi greco (base) per ottenere il numero, che è proprio pi greco. Questo esponente non può essere che UNO. Pi greco elevato a 1 vale proprio pi greco.

  13. Karl

    Di niente, ho avuto solo difficoltà a scriverla , altrimenti lo avrei fatto subito. Volevo farlo su carta ma non sono riuscito a caricare l immagine.

  14. :-). Lasciamo ancora decantare il quiz... di sicuro ci sono altri interessati a risolverlo! ;-)

  15. Fabrizio

    Domanda: oltre alle operazioni indicate sopra, nella espressione possono apprire solo i 4 pi.greco o possono esserci anche altri numeri come lo stesso n?

  16. PapalScherzone

    Ciao Karl!

    Se ti capiterà di nuovo di incontrare difficoltà ad inserire immagini in un commento, puoi inviarmele (va bene anche un foto) a papalscherzone@gmail.com, dopodiché ti inoltrerò un link da copiare nel riquadro "inserisci immagine"

  17. caro Fabry,

    hai toccato un punto importante. Lo stesso Karl l'ha trascurato, ma è il momento di dirlo: NON PUO' COMPARIRE VISIVAMENTE ALTRO NUMERO SE NON π. Ragione per cui anche Karl non è stato corretto, dato che compare esplicitamente il numero n.

    Diciamo che altri numeri possono essere utilizzati in modo implicito, ma non esplicito. Ad esempio se faccio la radice quadrata non compare il 2 e mi sta bene, così come il logaritmo in base 10 o il logaritmo in base e. Il simbolo non necessita di far VEDERE un altro numero, anche se è implicito nel simbolo. Già diverso è il caso del quadrato in quanto compare esplicitamente il numero 2.

  18. Karl

    Grazie PapalScherzone.

  19. Per Karl:

    la tua formula è molto bella, ma usa anche un altro numero e non ci piace tanto. Cerca di migliorarla eliminando dalla vista il numero n.

    In generale, per tutti:

    Ribadisco che deve comparire esplicitamente solo π.

    Ad esempio sono ammessi

    √π, log π, ln π, ππ, ma non radice cubica, log5, .... e cose del genere.

    CHIEDO SCUSA se non l'avevo esplicitato bene nel testo, ma ho già aggiunto la parola SOLAMENTE...

  20. Karl

    Ho mandato la foto a papalscherzone. Non funziona più latex

  21. caro Karl,

    ho dovuto eliminare una parte del tuo messaggio, dato che tiravi in ballo la soluzione della prima parte, citando lo scienziato... Eh no! lascia divertire anche gli altri che non vogliono l'aiuto... :wink:

  22. Rimanendo nel vago, caro Karl, nella tua formula, che hai messo nei commenti, tu dai per scontata la radice "pigrechesima" di pigreco. Ma questa è una funzione che non esiste nella calcolatrice vecchio stile...Una cosa è contare a mente da uno a n è un'altra è scrivere n volte una radice che non è data dalla calcolatrice.

    Spero di essere stato chiaro. D'altra parte la soluzione esiste e quindi accettiamola per quello che vale. Dai, sono sicuro che troverai il modo di contare fino a n e di non far comparire niente che non sia pi greco...

  23. Karl

    Intanto chiedo scusa. mi sembra che la esponenziale ci sia stato, e si possa elevare una base a qualunque numero. Ti dirò che e impossibile che non ci sia riferimento a n, implicito o esplicito che sia. Ti dirò poi che un conto è esprimere un numero in funzione di p greco, altro e calcolarlo con una calcolatrice. Di solito si fa il contrario. In ogni caso questi sono i miei limiti. Bravo chi troverà altro.Del resto parleremo alla fine, quando sarà possibile farlo.

  24. Karl

    Ho messo un 2/p-greco di troppo.. ne andrebbero solo uno con i puntini. Comunque tutto ciò e assurdo.

  25. ma... perché mai? Comunque, dai ne parleremo dopo che si saranno scatenati gli altri quizzatari (Fabrizio in testa).

    Intanto, ti ringrazio per l'assiduità!

     

  26. Karl

    Latex ha ripreso a funzionare

    log_{\pi}(log_{\pi}(\pi^{\frac{1}{\pi}......}))

    Dove i puntini indicano che 1/p-greco viene moltiplicato per se stesso n volte.

    Ricordo che pigreco^ 1/p-greco non è una radice p-greco esima ma semplicemente l elevamento a potenza reale di un numero reale, ovvero che esiste nella calcolatrice come detto anche nel testo del quiz

  27. Puoi cercare di convincermi quanto vuoi, ma basterebbe dire che il numero 1 non è previsto e tu invece lo inserisci a numeratore dell'esponente. Soluzione non conforme alle richieste...

    Invece di cercare di convincermi che la tua soluzione va bene, perché non cerchi di eliminare il numero 1 ? Ce la faresti sicuramente...

  28. Karl

    Io non voglio convincere nessuno. So da solo quali siano le mie ragioni e i miei torti. Lasciamo perdere il fatto che il testo del quiz e cambiato. Qui 1 non c'entra niente, rappresenta la funzione 1/x che esiste inqualsiasi calcolatrice. Faccio dunque 1/p-greco e lo moltiplico per se stesso n volte, poi uso la funzione a Elevato x.

  29. Sì caro Karl il testo è leggermente cambiato, ma qui non facciamo gare e quindi non è successo niente di grave. Mi sono anche preso la colpa... che devo fare ancora? Tuttavia, compare l'uno e la risposta non è accettabile nella veste definitiva del quiz. C'è scritto che non deve comparire esplicitamente nessun altro numero. Poi se vuoi che ti dia ragione, nessun problema: LA TUA RISPOSTA E' GIUSTA.

    Invito, comunque, gli altri che abbiano voglia e tempo a trovare una soluzione in cui non compaia nemmeno quell'uno al numeratore.

  30. leandro

     

    Se ho ben capito bisogna evitare di usare i numeri e ogni funzione non presente sulle calcolatrici, per esempio non esiste il logaritmo in base pigreco. Tenendo conto della formula di cambio di base del logaritmo possiamo usare la base naturale "e".  L'altro problema è la presenza dell'inverso di pigreco. Possiamo però usare questo trucco:

    \pi ^{\frac{1}{\pi }}= e^\frac{{ln(\pi )}}{\pi }

    ove ln è il logaritmo naturale.

    Raggruppando il tutto verrebbero proprio 4 pigreco e basta.

  31. caro Leandro,

    tu avresti anche ragione... ma si vuole evitare di scrivere espressamente il numero e che è un numero a tutti gli effetti, come pigreco. Nel simbolo ln non compare "e", mentre in eπ compare. Il succo del quiz è proprio in questa sottigliezza, ossia trovare qualcosa che non mostri esplicitamente nessun numero tranne pigreco. E' un quiz adattato a un quiz ben più celebre, ma si può risolvere...

  32. riporto ancora il tipo di simbologia che si può adottare

    Ad esempio sono ammessi:

    √π, log π, ln π, ππ, e simili, ma non radice cubica, log5, ...., eπ, π 1/π e cose del genere.

    Sarà anche un'assurdità, ma serve solo a introdurre una soluzione diventata storica, nel suo piccolo. E, poi, vuole cercare di divertire pensando... non si guadagna niente :-P

  33. Andy

    Utilizzando una delle proprietà dei logaritmi, log(A/B) = log(A) - log(B)

    ho ottenuto:

    o equivalente:

    Però, se al posto di π metto un k positivo diverso da 1, dovrei ottenere gli stessi risultati.

  34. Sì... ma devi scrivere n volte pigreco oltre alle altre tre... e se ne vogliono sempre soltanto 4...

    Tu, in pratica, hai scritto 1 attraverso somme e differenze di logaritmi, ma l'unica cosa che rimaneva era il numero di volte in cui veniva scritto pigreco. Allora si poteva anche scrivere più semplicemente:

    (pi + pi +pi ...)/(pi - pi + pi) = n pi/pi = n

    La formula deve rimanere con 4 pigreco anche dopo aver eseguito le semplificazioni... :wink:

     

  35. Karl

    log_{\pi}(log_{\pi}(\pi)^{\pi}) per n=1; poi procedo in modo ricorsivo; elevo \pi^{\pi} a \pi per n=2 e così via. Poi applico il cambiamento di base come suggerito da Leandro, ho sempre 4 p-greco in tutto. Però non so trovare un metodo  grafico per scriverla. Nella pratica, elevo pgreco a pgreco, poi il risultato ancora a p-greco, tante volte in tutto quanto è il numero n

    Poi faccio i due logaritmi.

  36. Non so se ho capito bene... ma la formula deve essere una sola che valga per qualsiasi n (e senza che appaia il numero e). Puoi sempre inviare il file scritto a mano a Papalscherzone, comunque...

    Un consiglio... cercate un'altra base!

  37. Karl

    No, non compare e.  Il log e' scritto  in base p-greco per rendere più evidente l eguaglianza. Sì mette il log e poi si divide per il log di p-greco. Fra l altro la scrittura log e ln convenzionalmente contengono il pedice 10 o e. Tanto come la radice quadrata ha sopra un due sottointeso. Si tratta solo di convenzioni. il problema è di scrittura dell' esponenziale ripetuto. L' esponenziale dell' esponenziale dell' esponenziale..

  38. Karl

     potrebbe definire una f (x) così:

    f(x)=x^{\pi}

    e fare f(f(f(f...(\pi)))) n volte

    Si potrebbe allora scrivere:

    n=\frac{log(\frac{log(f(f(f(f...(\pi))))}{log\pi} )}{log\pi}

    Comunque adesso chiudo e lascio spazio agli altri.

  39. va bene, va bene... accettiamola ... anche se l'ultima scrittura abbisogna di una f che non è nella calcolatrice. Quella precedente mette dei puntini invece che moltiplicare n volte pigreco... Se, invece, metti puntini all'esponente, per n qualsiasi, compaiono molti pi greco... I puntini andrebbero messi quando si ripete un'operazione e non quando si ripete il numero.

    Comunque, complimenti per la volontà... e per la capacità, ovviamente. :-P

    Vediamo se Fabry tira fuori qualcosa di diverso...

  40. Karl

    Ok grazie

  41. Andy

    Dato che:

     

    si può scrivere:

    ad ogni inserimento di radice, la frazione produce l'intero successivo, mantenendo  a quattro il numero di pi-greco visualizzati.

  42. Fabrizio

    Per rispondere ad Enzo che attende un mia soluzione, devo dire di non averla trovata. Ho seguito l'idea che è stata inconcludente di trovare una qualche funzione trigonometrica che opportunamente campionata su funzioni di pi.greco potesse portare agli interi ricercati.

    Rivedendo le  soluzioni proposte credo che la soluzione sia nel doppio logaritmo indicato da Karl ed Andy e nell'utilizzo della radice quadrata ripetuta fatto da Andy. Una espressione alternativa di questa impostazione potrebbe essere questa:

    \mp \frac{ln\frac{ln(\sqrt{\sqrt{...\sqrt{\pi}}})}{ln (\pi)}}{ln(-cos(\pi)-cos(\pi))}

    \frac{ln\frac{ln({\pi^{\frac{1}{2^n}})}}{ln (\pi)}}{ln(2)}=\frac{ln\frac{{2^{-n}}ln({\pi)}}{ln (\pi)}}{ln(2)}=\frac{-n ln(2)}{ln(2)}=-n

  43. Beh... devo dire che siete stati tutti molto bravi!! Di sicuro siete capaci di maneggiare i logaritmi. La soluzione che preferisco è quella di partire da Dirac e di cambiare il 2 in pigreco, tranne che nel logaritmo più esterno, per il quale è necessario mantenere il 2. Dovendolo far sparire non resta che scriverlo in altro modo e un modo sicuro è - cos pi - cos pi, come dice Fabry.

    Va bene... a questo punto posso anche inserire la mia soluzione con un minimo di storia...

    Grazie Karl, Andy e Fabry !!!

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