Ago 10

Newton avrebbe riso delle nostre quartiche, quintiche, sestiche, ecc. ****

Cari amici, volevo tralasciare la formula ricorrente che risolve le espressioni richieste nell'articolo-quiz sulle somme delle potenze di uguale grado, ma Newton (e anche un certo Girard) mi è apparso in sogno e mi ha letteralmente obbligato a farlo (ha un carattere terribile!... sarà stata la mela sulla testa?). Mi spiace per voi, ma dovete condividere con me questa fatica...

Limitiamoci al nostro caso, in cui compaiono solo tre parametri o variabili (a, b, c).

Definiamo le seguenti espressioni:

S0 = 1

S1  = a + b + c

S2 = ab + ac + bc

S3 = abc

S4 = 0

In poche parole, sono proprio quelle espressioni che siamo riusciti (Andy ed io) a determinare con vari passaggi algebrici.  Ovviamente se il pedice è maggiore del numero delle variabili (nel nostro caso 4 > 3), deve essere uguale a zero il prodotto di 4 variabili, dato che la quarta  variabile è uguale a zero (non esiste)

Se  avessimo quattro variabili (a, b, c, d) otterremmo:

So = 1

S1 = a + b + c + d

S2 = ab + ac + ad + bc + bd + cd

S3 = abc + abd + acd + bcd

S4 = abcd

S5 = 0

In poche parole, chi limita il loro valore diverso da zero è il NUMERO DI VARIABILI

Definiamo, adesso, un'altra espressione che è limitata solo dal GRADO  e non dal numero di variabili

Nel nostro caso (k = 3):

p1 = a + b + c

p2 = a2 + b2 + c2

p3 = a3 + b3 + c3

......

pn = an + bn + cn

In altre parole, fissato k (il numero delle variabili) abbiamo comunque un numero n  di valori di p, cioè il loro numero è proprio uguale al grado.

Teoricamente, il nostro problema si risolverebbe determinando i valori di a, b e c che risolvono le prime tre equazioni e poi potremmo determinare tutte le altre somme con grado sempre più alto. Vogliamo, invece, ricavare la stessa cosa SENZA conoscere le radici.

Le formule che ci interessano si chiamano identità di Newton, ma, in realtà, è più giusto chiamarle di Girard-Newton, dato che Girard l'aveva già descritte solo  per i quadrati, i cubi e le quarte potenze. Newton le ha generalizzate per tutte le potenze. Esse servono a esprimere la somma delle potenze ennesime delle radici del polinomio senza conoscerne le radici (in fondo è proprio il nostro caso...).  Newton lascia la dimostrazione al  lettore e così facciamo anche noi... ricordando che il primo a dimostrarle è stato  Maclaurin.

Nel caso generale esse dicono:

kSk = Sk -1 p1 - Sk-2 p2 + Sk-3 p3 + ... + (-1)k-1 S0pk

nel nostro caso, con k = 3

3S3 = S2 p1 - S1 p2 + S0 p3

Vogliamo provare a verificarla? Non è certo difficile ...

S0 = 1

S1 = a + b + c

S2 = ab + ac + bc

S3 = abc

S4 = 0

e

p1 = a + b + c

p2 = a2 + b2 + c2

p3 = a3 + b3 + c3

...

pn = an + bn + cn

 

3S3 = S2 p1 - S1 p2 + S0 p3

3abc = (ab + ac + ab)(a + b + c) - (a + b + c)(a2 + b2 + c2) + 1 · (a3 + b3 + c3)

provate pure a eseguire i vari prodotti e alla fine troverete proprio:

3abc = 3abc

dato che tutti gli altri termini si eliminano a vicenda.

Noi, però, conosciamo già dall'inizio quante valgono p1, p2 e p3, proprio 1, 2 e 3 rispettivamente. Per cui possiamo trovare i valori numerici di S1, S2 e S3 dalla formula generale, ponendo k = 1, 2 e 3

kSk = Sk -1 p1 - Sk-2 p2 + Sk-3 p3 + ... + (-1)k-1 S0pk

S1 = S0(a + b + c) = 1 · 1 = 1

S1 = 1

2S2 = S1 p1 - S0 p2 = 1 · 1 - 1 (a2 + b2 + c2) = 1 - 2 = -1

S2 = -1/2

3S3 = S2 p1 - S1 p2 + S0 p3 = (-1/2)(1) - (1)(2) + (1)(3) = -1/2 - 2 + 3 = 1 - 1/2 = 1/2

S3 = 1/6

A questo punto possiamo andare avanti quanto vogliamo, ricordando che, ovviamente, Sk>3 = 0

4S4 = 0 = S3 p1 - S2 p2 + S1 p3 - S0 p4 = (1/6)(1) - (- 1/2)(2) + (1)(3) - (1)p4

L'unica incognita è proprio p4 ossia (a4 + b4 + c4)

p4 = 1/6 + 1 + 3

p4 = 25/6

5S5 = 0 =  S4 p1 - S3 p2 + S2 p3 - S1 p4 + S0 p5 = 0 - (1/6)(2)  + (-1/2)(3) - (1)(25/6) + (1) p5

p5 = 2/6 + 3/2 + 25/6 = (2 + 9 + 25)/6

p5 = 6

6S6 = 0 = S5 p1 - S4 p2 + S3 p3 - S2 p4 + S1 p5 - S0 p6  = 0  - 0 + (1/6)(3) - (-1/2)(25/6) + (1)(6) - (1)p6

0 = 3/6 + 25/12 + 6 - p6

p6 = (6 + 25 + 72)/12

p6 = 103/12

e così via ...

Beh... possiamo fermarci qui. Andare oltre ci porterebbe fuori dallo scopo del nostro circolo che non vuole essere qualcosa dedicato solo agli specialisti.

2 commenti

  1. Andy

    Caro Enzo,

    non conoscevo l'identità di Newton-Girard (o Girard-Newton che dir si voglia),

    ma siccome lo svolgimento del ragionamento mi ha appassionato, ho provato ad arrivare alla formula ricorrente partendo dall'algebra più semplice, limitatamente ad espressioni con tre parametri;

    ho prima determinato i valori dei polinomi:

    \color {Blue} \bold {ab + ac + bc = \frac{1}{2}\left ( p_1 ^2 - p_2 \right )}     ,   {\color{Red} \bold {abc = \frac{1}{3}\left ( p_3 - p_1 ^3 \right ) + \frac{1}{2}\left ( p_1 ^3 - p_1 p_2 \right )} }

    attraverso questi passaggi:

    e poi ho cercato di ottenere la formula generale, cercando di "compattarla":

    che sembra proprio l'identità di Newton, limitata al caso di 3 variabili e "ristretta".

    Nel nostro caso,

    p1 = 1

    p2 = 2

    p3 = 3

    S_2 = \frac{1}{2}\left ( 1^2 - 2 \right ) = -\frac{1}{2}          abc = \frac{1}{3}\left ( 3 - 1^3 \right ) + \frac{1}{2}\left ( 1^3 - 1 \cdot 2 \right ) = \frac{1}{6}

     

    n=4 => a4 + b4 + c4 = p4 = p1p3 – p2S2 + p1S3 = (1)(3) – 2(-1 / 2) + (1)(1 / 6) = 25 / 6

    n=5 => a5 + b5 + c5 = p5 = p1p4 – p3S2 + p2S3 = (1)(25 / 6) – 3(-1 / 2) + 2(1 / 6) = 6

    n=6 => a6 + b6 + c6 = p6 = p1p5 – p4S2 + p3S3 = (1)(6) – (25 / 6)(-1 / 2) + 3(1 / 6) = 103 / 12

    e volendo continuare:

    n=7 => a7 + b7 + c7 = p7 = p1p6 – p5S2 + p4S3 = (1)(103 / 12) – 6(-1 / 2) + (25 / 6)(1 / 6) = 221 /18

    n=8 => a8 + b8 + c8 = p8 = p1p7 – p6S2 + p5S3 = (1)(221 / 18) – (103 / 12)(-1 / 2) + 6(1 / 6) = 1265 / 72

    n=9 => a9 + b9 + c9 = p9 = p1p8 – p7S2 + p6S3 = (1)(1265 / 72) – (221 / 18)(-1 / 2) + (103 / 12)(1 / 6) = 905 / 36

     

    La formula sembra funzionare, ma il "balbettio" della tastiera del mio notebook è un ulteriore segnale che mi consiglia di prendere alcuni giorni di vacanza :mrgreen:

  2. molto bravo, come sempre, caro Andy!

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