Sapete benissimo che a me piace il vino (quello veramente buono, però...). Con mia grande gioia me ne hanno appena regalate dieci bottiglie veramente straordinarie e devo sistemarle da qualche parte...

In attesa di una sistemazione definitiva (sempre che non le beva prima...), ho utilizzato una scatola di legno in cui riescono a starci, in larghezza, al massimo quattro bottiglie. La quinta non riesce a starci e le quattro possono muoversi liberamente, negli spazi vuoti della fila più bassa. Per mantenere una certa simmetria (sono o non sono un matematico che ama la geometria euclidea?), ne ho messe due contro le pareti e le le altre due in modo che mantenessero tra loro una distanza costante (vedi figura).  Sopra di queste ne ho inserite tre in modo che poggiassero sopra due sottostanti. Sopra di queste altre due con lo stesso vincolo di prima. L'ultima ha concluso il  triangolo "vinoso".

Non potete certo stupirvi se il centro dell'ultima bottiglia (vista di fronte) cade esattamente nel mezzo della base della scatola. La simmetria è assicurata.

Tuttavia, abbiamo visto che due bottiglie sistemate alla base della scatola possono tranquillamente spostarsi, avendo spazio a disposizione. Variamo, allora, la loro posizione rispetto alle altre due sistemate contro le pareti della scatola e costruiamo di nuovo la piramide di bottiglie con le stesse regole di prima: tre nella seconda fila, due nella terza e una nella quarta. Ogni bottiglia deve essere sempre incastrata tra due sottostanti.

Vi chiedo:

1.  Quali saranno le posizioni orizzontali assunte dal centro dell'ultima bottiglia in alto, al variare della posizione delle due "libere" di muoversi della prima fila? **

2.  Come cambierà questa posizione aumentando il numero delle bottiglie**, ad esempio, usando una scatola in cui ce ne stanno cinque nella prima fila, con le stesse regole usate nella scatola per quattro? Ovviamente, dobbiamo avere a disposizione 15 bottiglie per formare la piramide.

3.  Che senso ha il numero sette per il primo caso e come si trasforma nel caso più generale***

Vi spiego gli asterischi...

Le prime due domande sono di bassa difficoltà, ma desidero avere una dimostrazione matematica e/o geometrica del risultato (non basta una serie di immagini e una conclusione visiva). Ossia, desidero sapere perché capita quello che capita.

L'ultima domanda è molto strana e ambigua, per cui più che in attesa di una risposta è solo un anticipo di un prossimo quiz... Però se qualcuno ci arriva, tanto meglio!

Voglio far notare che non è solo un gioco, ma un qualcosa che ha sollevato un certo interesse non molti anni fa e che ha risvolti sia pratici che teorici. Potrebbe stimolare i nostri amici "meccanici" a costruire qualcosa di molto simpatico!

Buon divertimento e ... non scolatevi le bottiglie!

Qui la soluzione