Ago 23

Pieghiamo un cerchio *

Vedo che il vino non piace molto (peccato...). Lasciamolo, comunque, in attesa di qualche estimatore. Nel frattempo, proponiamo questo quiz geometrico  veramente semplice, a cui spero rispondano in tanti...

Prendiamo un foglio di carta e ritagliamo un bel semicerchio di raggio unitario, come mostrato in Fig. 1.

Figura 1

Poi pieghiamo la parte superiore e portiamola verso il basso in modo che essa vada a toccare in un solo punto T (ossia sia tangente) il diametro orizzontale, come mostrato in Fig. 2.

Figura 2

Si chiede:

(1) Quanto vale la distanza AB ?

(2) Qual è il suo valore minimo e massimo ?

(3) Che curva descrive la distanza AB al variare del punto T ?

La soluzione perfettamente spiegata la trovate nell'ultimo commento di Andy !

12 commenti

  1. michele celenza

    forse la soluzione del quesito è più evidente se la corda AB è posizionata parallelamente al diametro orizzontale del cerchio raffigurato in questo caso il punto di tangenza T coincide con il centro della circonferenza, in queste condizioni la saetta della corda AB e la sua distanza dal centro della circonferenza sono uguali ovvero valgono la metà del raggio:

    indichiamo con h queste distanze uguali applicando il Teorema di Pitagora

    (AB/2)2 = r2 - (r/2)2 = r2 - r2/4 = 3/4 r2

    per r=1

    (AB)2/4 = 3/4    AB = √3

     

     

     

  2. OK Michele, ma è interessante vedere cosa succede nel caso generale e non solo in un caso molto particolare... :wink:

  3. michele celenza

    Se indichiamo con α l'angolo formato tra i i due raggi ed aventi per estremi A e B si ha:

    sen α/2 = (AB/2) / r

    da cui

    (AB/2) = (sen α/2) r

    AB = 2 (sen α/2) r

    per r= 1

    AB = 2 sen α/2

    il valore minimo di AB è per  sen α/2 = 0 ovvero  per  α = 0

    il valore massimo di AB è per sen α/2 = (r/2) / r = 1/2

    ovvero per  α = 60 gradi, che corrisponde al caso particolare della corda parallela al diametro orizzontale di cui alla figura nel caso di saetta pari a metà del raggio.

    La lunghezza della corda varia con legge sinusoidale con un minimo paria a 0 e un massimo pari

    a  √3

     

     

  4. caro Michele,

    ricordati bene le ipotesi di partenza: il cerchio piegato deve essere tangente al diametro orizzontale ... il valore minimo non è giusto.

    E poi cerca di ricavare la funzione che esprime la lunghezza di AB in funzione della distanza del punto di tangenza rispetto al centro del semicerchio di partenza...

  5. Arturo Lorenzo

    Aggiungo un tassello.

    La lunghezza minima della corda AB si ha quando B coincide con uno degli estremi del diametro. In questa circostanza, essa forma un angolo di 45° con il diametro e la dua lunghezza, calcolata con Pitagora, vale radq(2)  (essendo il raggio =1).

  6. Non resta che ricavare la funzione per un caso qualsiasi... :wink:

  7. Arturo Lorenzo

    Se non ho sbagliato i conti, la formula che restituisce la lunghezza della corda AB al variare di x (indicando con x la lunghezza del segmento OT) è  :

    AB=\sqrt{3-x^2}

    Infatti:

    • per x=0 ottengo radq(3) , valore massimo con corda AB parallela al diametro
    • per x=1 ottengo radq(2) , valore minimo con corda AB inclinata di 45° rispetto al diametro.

    Trovare la formula è quasi immediato, una volta fatta una corretta costruzione grafica del problema , che ometto per chi volesse arrivarci da solo :wink:

    Oh, sempre la formula è giusta, eh :-D

     

  8. Arturo Lorenzo

    ("sempre SE la formula è giusta")

  9. e che curva sarebbe mai quella trovata? (aggiungo)

  10. Arturo Lorenzo

    Un arco di circonferenza di raggio pari a radq(3)

  11. Andy

    In linea con quanto ha già scritto Arturo, nel caso generale:

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