Categorie: Matematica
Tags: area minima cerchietti quiz triangolo equilatero
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Soluzione della somma dei cerchietti **
QUI il quiz
Ottimo Andy e anche Albertone, anche se alla fine vuole trovare r e non l'area minima... Riporto comunque una soluzione decisamente semplice.
La prima cosa da fare è trovare una relazione tra il raggio r e il numero n dei cerchietti che stanno sulla fila più lunga. Costruiamo il triangolo equilatero che ha come vertici i centri dei cerchietti tangenti la circonferenza in cui sono inscritti.
Chiamiamo s la lunghezza del lato di questo triangolo. Nel caso più generale, abbiamo
s = 2nr - r - r = 2r(n - 1) .... (1)
In altre parole in questa fila ci stanno sempre n cerchietti, che danno una lunghezza di 2nr, meno mezzo cerchietto all'inizio e mezzo cerchietto alla fine, ossia due volte il raggio.
Dobbiamo, adesso, trovare un'altra relazione tra s e i due parametri r e n. Consideriamo il triangolo AOH, in cui:
AH =2 r(n -1)/2 = r(n - 1) = s/2
AO = 1 - r ( è il raggio del cerchio grande meno un raggio piccolo)
Possiamo, però, scrivere che:
AH = AO cos OAH = AO cos 30° = AO √3/2
Sostituendo AO e AH, abbiamo:
s/2 = (1 - r) √3/2
s = √3 (1 - r) .... (2)
Uguagliamo la 1 e la 2, ottenendo:
2r(n - 1) = √3 (1 - r)
Mettiamo in evidenza il raggio r:
2rn - 2r + √3r = √3
r = √3/(2n + √3 – 2) .... (3)
Risulta chiaro che per n che tende a infinito il raggio del cerchietto tende a zero. Qualcuno potrebbe dire: "Se il raggio tende a zero, è ovvio che l'area del singolo cerchietto diventa zero, e quindi l'area totale di tutti i cerchietti non potrà che essere ZERO". Lo potrebbe dire, ma sbaglierebbe, dato che quando vi è un parametro che TENDE a infinito la faccenda non è assolutamente così semplice (Zenone e i suoi paradossi insegnano). D'altra parte, per piccoli che siano i nostri cerchietti, devono continuare a toccare il cerchio grande in tre punti ben separati e sembrerebbe di ottenere un'assurdità. Così non è, però...
Basta, infatti, calcolare il numero totale N dei cerchietti e moltiplicarli per l'area del singolo cerchietto per n qualsiasi.
Ricordiamo il giovane Gauss e sappiamo subito dire quanti cerchietti esistono nella nostra figura... uno all'inizio, in alto, poi, 2, 3, 4, ... n. Questa sommatoria ha un valore ben definito che vale:
N = n(n+1)/2
Moltiplichiamo, adesso, il numero totale dei cerchietti per l'area del singolo cerchietto che vale, ovviamente, πr2. Ma, sappiamo bene quanto vale r in funzione di n (ce lo dice la (3)) e possiamo scrivere:
Atot = (n(n+1)/2)(π3/(2n + √3 – 2)2)
Atot = (n2 + n)/2)(π 3/(4n2 + 3 + 4 + 4n√3 - 8n)
Atot = (π 3n2 + π 3n)/(8n2 + 14 + 8n√3 - 16 n)
Questo rapporto per n che tende a infinito tende a una forma infinito/infinito, ossia a un qualcosa di indeterminato. Tuttavia, la relazione trovata presenta un polinomio al numeratore e uno al denominatore, e sappiamo che quando si passa al limite si possono trascurare i termini di grado inferiore. Possiamo perciò effettuare il nostro limite sul solo rapporto dei termini di grado più alto sia al numeratore che al denominatore, ossia:
lim n →∞ (3πn2/8n2) = 3π/8 ∼ 1.178
12 commenti
So già che mi prenderete per matto, ma io 'sta storia di n che tende a zero non riesco a digerirla. Dai 5 di base in figura essi caleranno a 4, poi a 3 , a 2 diventando sempre più grandi e insomma prima che a zero arrivano a 1. Ma se c'è un solo cerchietto per me significa che questo coincide con il cerchio grande, di area π. Ammettiamo anche che abbia senso parlare di mezzo cerchietto, questo sarà sempre più grande finchè non c'è più neanche un cerchietto e costui sarebbe infinito. Boh!
Allora, stamattina - preso da furore calcolatorio - utilizzando direttamente la Atot = (n(n+1)/2)(π3/(2n + √3 – 2)2) di Vincenzo sono tornato a ricalcolarmi il suo minimo tramite la derivata, che come avrete capito è la mia idea fissa. Trovo così un valore di n che posso andare a sostituire nella Atot per trovare il valore definitivo dell'area minima occupata da tutti i cerchietti.
Ed eccomi al lavoro:
Come forse avete avuto la pazienza di vedere, a un certo punto non ce la faccio più di portarmi dietro pi grechi e radici di tre e mi trasformo in un ingegnere che passa alla virgola approssimando tutto a due cifre decimali. Horribile visu! Comunque mi saltano fuori due valori per n: -0,43 e 3,19 (pezzetti di cerchietti?)
Non mi resta che andare a sostituire n in Atot e vedere cosa salta fuori:
Toh! Per n= 3,19 mi salta fuori 1,113 valore che solo un illuso può credere sia un'accettabile approssimazione del 1,178 di Vincenzo. Altrimenti mi salta fuori un'area totale di circa zero che più minima di così non si può :-)
Resta il fatto che Vincenzo non mi dice quanti sono in totale questi cerchietti le cui aree sommate mi danno l'area minima di 1,178. A me era venuto fuori che sono 3,19. Non sarà che senza le mie approssimazioni salta fuori esattamente 3 ?
Provo ad andare a sostituire n=3 nella Atot = (n(n+1)/2)(π3/(2n + √3 – 2)^2) di Vincenzo e trovo 1,15
Vincenzo, ti prego, dimmi se sono un perfetto pazzo ignorante.
Ma non è r che tende a zero (e n all'infinito)?
Si, hai ragione, ho invertito r con n. Quindi i cerchietti diventano sempre più piccoli fin che S è uguale alla radice di 3, cioè al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 1. O no?
caro Albertone,
prova a calcolare le due aree...
Scusami Vincenzo, ma mi sono completamente perso.
Tu trovi che lim n →∞ (3πn2/8n2) = 3π/8 ∼ 1.178.
Se i cerchietti diventano sempre più piccoli verso raggio zero e tendono all'infinito di numero, non arrivo a formare il triangolo equilatero perfettamente inscritto nella circonferenza di raggio 1?
E questo non ha l'area = 3√3/4=2,598?
caro Albertone...
e chi l'ha detto che le due aree devono essere uguali? Forse che lo sono per n = 4, ad esempio? I cerchietti fuoriescono dal triangolo, ma tra di loro resta del vuoto...
Comunque l'area del triangolo non vale 2.598, ma 1.299 ...
Caro Francesco,
vedo che il mio commento di risposta non è stato inviato (?!). Volevo ringraziarti per la svista che ho subito corretto!!
Sì, ovviamente, 3√3/4=1.299, il mio 2.598 è saltato fuori usando la calcolatrice come un analfabeta
adesso va bene ...