Categorie: Matematica
Tags: geometria quadrato quiz rettangoli
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:25
quadrati e rettangoli **
Un problemino non certo difficile, ma che comporta una buona dose di ragionamento e di ... fantasia.
Consideriamo un quadrato che è libero di ingrandirsi o di rimpicciolirsi a piacere, l'importante è che rimanga un quadrato... Consideriamo adesso un rettangolo che abbia un lato doppio dell'altro. Anch'esso può ingrandirsi o rimpicciolirsi a piacere. Il problema è quello di determinare il numero di rettangoli di questo tipo capaci di riempire perfettamente il quadrato.
In altre parole, quanti rettangoli di dimensioni 2:1 (ma di area qualsiasi) possono formare un perfetto quadrato (anch'esso di area qualsiasi)?
O -se preferite- qual è il numero di rettangoli che NON riescono a formare un quadrato?
A voi la scelta... dato che il risultato è assolutamente lo stesso. Ovviamente, è richiesta la spiegazione del risultato!
QUI la soluzione
25 commenti
Evidentemente sbaglio, perché mi sembra troppo facile, un gioco da piastrellisti.
I rettangoli li posso porre si a verticalmente che orizzonalmente. Ma ne serve sempre una coppia per formare un quadratino. Per cui il quadratone devo sempre formarlo con coppie di quadratini. Quante coppie? 2 alla seconda, 3 alla seconda, 4 alla seconda, n alla seconda quadratini (mi pare che n2 non funzioni su questa piattaforma, questa è una prova). Ma ogni quadratino è fatto di 2 piastrelle rettangolari per cui alla fine mi servono 2n alla seconda piastrelle (2n2).
Altra figuraccia?
Infatti non funziona. Si potrebbe scrivere 2n^2
Pensaci ancora un po' sopra Albertone. E' facile, ma non fino a tal punto...
Detto a il lato corto di un rettangolo , la sua area sarà 2 a^2.
Il quadrato, di lato b qualsiasi, deve avere area = b^2.
Poiché si richiede la copertura esatta, detto n il nr di rettangoli, si avrà
2 a^2 n = b^2
ovvero n = 1/2 (b/a)^2
ma b/a = k deve essere un numero intero e il suo quadrato è pari .
Poiché il quadrato di un numero intero è pari solo se il numero stesso è pari, condizione necessaria per avere una copertura esatta è che k sia pari.
Esistono infiniti n interi tali che n=k^2 /2
Cioè
k=2 , n= 2
k =4 , n=8
k=6, n=18
k=8, n=32
e così via. Non saprei però se la condizione è anche sufficiente.
non ci siamo ancora...
Il numero di rettangoli che servono per formare un quadrato sono dati dalla formula:
2^(2n+1), con n=1,2,...
Caro Albos,
il che vorrebbe dire che si può costruire un quadrato, formato da rettangoli di area qualsiasi ma con un lato doppio dell'altro, solo quando i rettangoli sono:
23, 25, ecc...
ossia solo con 16, 32, ...
e il caso con due soli rettangoli dove è finito?
Un chiarimento: i rettangoli devono essere tutti della stessa dimensione o possono avere dimensioni diverse purché tutti rispettino la proporzione 2:1?
esempio quadrato lato 8 posso riempirlo con 1 rettangolo 8x4 e 4 rettangoli 2x4?
Se si allora dovrebbe essere possibile per tutti i numeri del tipo 2+3n.
Perché ogni rettangolo può essere diviso in non meno di 4 rettangoli 2:1 quindi ogni volta che scompongo un rettangolo aumento di 4 (i nuovi rettangoli) e tolgo uno (il vecchio)
ovviamente il 2 è per la prima divisione del quadrato
caro Ernesto,
ribadisco quanto scritto nel testo:
(1) un quadrato che è libero di ingrandirsi o di rimpicciolirsi a piacere, l'importante è che rimanga un quadrato
(2) quanti rettangoli di dimensioni 2:1 (ma di area qualsiasi) possono formare un perfetto quadrato (anch'esso di area qualsiasi)
Sei sulla strada giusta, ma vi inviterei a pensare non tanto a quali configurazioni sono possibili quanto alle configurazioni impossibili
Se non ho capito sbagliato, si deve cercare un valore di x che soddisfa la relazione
√(x*2x) = numero intero
Sono arrivato a calcolare con base rettangolo 2x = 513 (e anche oltre 1000)….
513 diviso 2 altezza = 256,5 area rettangolo = 131584,5 radice 362,745778748699
niente quadrato con lato intero.
ma io chiedo soltanto il numero di rettangoli, con lati in rapporto 1 a 2, che possono essere inseriti all'interno di un quadrato...
Quindi?
Quale è il valore di x che rende vero o falso x*2x+x*2x=2x*2x
Ti pregherei, Gianfranco, di essere più chiaro e di dirmi esplicitamente i numeri dei rettangoli che possono essere inseriti nel quadrato ...
“In altre parole, quanti rettangoli di dimensioni 2:1 (ma di area qualsiasi) possono formare un perfetto quadrato (anch'esso di area qualsiasi)?”
1 rettangolo con base 2x, (x valore qualsiasi), rimane per definizione sempre un rettangolo.
2 rettangolo con base 2x, forma quadrato con lato = 2x
questi quadrati 2x possono formare quadrati più grandi lato 4x, 6x ecc.
Però NON ho capito ancora la domanda!
cerco di riscriverla, ma non credo cambi di molto...
Dato un quadrato (di lato qualsiasi), quanti rettangoli con rapporto tra i lati pari a 1/2 possono riempirlo perfettamente.
L'importante è che i rettangoli abbiano i lati in proporzione 1/2, indipendentemente dalle loro dimensioni (grandi o piccoli per me pari sono). Idem per il quadrato che deve rimanere sempre e comunque un quadrato.
Sembrerebbe che il numero di rettangoli i quali rispettino le condizioni, seguano una progressione aritmetica di primo termine 2 e ragione 3:
N(rettangoli) = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1
con n = 1, 2, 3, ...., n - 1, n
N(rettangoli) = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...., 3n-1
es. n=1 N(rettangoli) = 2 (quadrato diviso da un asse mediano)
n=2 N(rettangoli) = 5 (quadrato diviso da un asse mediano, una delle due parti divisa da 2 assi mediani perpendicolari)
non basta...
Non basta no. Se inizialmente divido il quadrato non in due rettangoli ma in tre (lato 1/3 e 1/6) per completare la copertura mi servono 3 rettangoli verticali, un rettangolo orizzontale alla base e due rettangoli piccoli (1/6 x 1/12) per coprire il quadrato ( 1/6 x 1/6) che resta. Totale 6 numero che non è nella successione 2+3n.
ho cambiato strategia e seguendo il tuo consiglio ho provato a capire quali sono le soluzioni impossibili: intuitivamente sono le soluzioni in cui l’ultimo pezzo NON è un quadrato ma non sono ancora riuscito ad andare avanti.
Un piccolo-grande aiuto... continuate a dividere, ma vi sono anche altre strategie...
Una possibile composizione del quadrato con 7 rettangoli di proporzioni 1:1/2, in aggiunta a quelli con 2+3n rettangoli. Però non ho una regola generale.
Ottimo Fabrizio per il 7. Ma si può fare di più... e in modo ripetitivo... sei, quasi, sulla strada giusta, ma manca ancora un po' di simmetria!
Altro passettino di sola logica (spero)
per 2 è possibile ed è possibile per 2+3n
E quindi anche per 5+3n
per 6 è possibile quindi ( con il solito giochino di dividere un rettangolo in 4) lo è per 6+3n
per 7 è possibile (grazie Fabrizio) e quindi per 7 + 3n
quindi per tutti i numeri maggiori di 5 é possibile.
restano il 3 e il 4
per il 3 penso non si possa ma non l’ho ancora formalizzato.
L'accrescimento con 5 rettangoli si può ripetere.
Rimane comunque la possibilità di suddividere i rettangoli. Quindi il numero di rettangoli può essere 2+m5+n3. Dove m è il numero di strati aggiunti ed n il numero di rettangoli suddivisi in 4.
Con questo tipo di accrescimento e di suddivisione credo si possono ottenere configurazioni con un numero di rettangoli qualsiasi ad eccezione di 1, 3, 4, 6, 9.
Si potrebbe accrescere il quadrato sui 4 lati, ma il numero di rettangoli è gia coperto dal risultato precedente.
Si potrebbe anche suddividere il quadratino sugli strati aggiunti in 7, ma in termini di numero di rettangoli è come aggiungere uno strato.
Direi che Ernesto è arrivato al dunque... magari in un modo un po' più complicato del giusto, ma l'importante è aver trovato tre numeri consecutivi che sono conformi alla regola...