Categorie: Matematica
Tags: eredità lite pistoleri quiz un dollaro speciale
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
(QI) Per un ... dollaro in più **/***
Ciò che vi racconto si basa su un'antichissima storia beduina, ma, al posto dei preziosissimi cammelli, vede coinvolti dei dollari d'oro zecchino...
Un pistolero muore e lascia i suoi beni ai tre figli. La regola che impone il testamento è che al più vecchio tocchi la metà dei suoi beni, al mediano un quarto e al più giovane un sesto. Tutto bene? Neanche per sogno, dato che tutti i beni del pistolero sono solo e soltanto undici dollari d'oro. Inoltre, il testamento vieta categoricamente che i dollari vengano fusi o che siano cambiati con pezzi più piccoli, ossia "guai a farsi dare due mezzi dollari o cose del genere".
Non ci vuole molto a immaginare come sorgano subito liti tra i figli, dato che già il più vecchio si trova a dover dividere undici monete per due, cosa impossibile a meno di dividere una singola moneta, ma questo comporterebbe la perdita di tutta l'eredità. Lo stesso problema ce l'ha il secondo figlio, dato che 11 non è divisibile per 4, ed anche il più giovane dato che 11 non è divisibile per 6. I due più giovani chiedono al più vecchio di cedere qualcosa, visto che è già stato favorito nella spartizione. Ovviamente, il più vecchio non accetta e la lite si fa sempre più accesa, rischiando di finire in una battaglia cruenta.
Fortunatamente, da quelle parti sta passando un vecchio e saggio pistolero, ormai in pensione che, vedendo la situazione, si avvicina ai tre fratelli e propone una soluzione. Lui è disposto a regalargli una sua moneta d'oro. In tal modo i tre fratelli dovrebbero dividersi 12 monete. La situazione cambia completamente... al primo spetterebbero 6 monete (12/2), al mediano 3 (12/4) e al più giovane 2 (12/6). I tre fratelli sono molto soddisfatti e accettano immediatamente.
Come si è risolta la questione? Ricapitoliamo...
Al più vecchio vanno 6 dollari, al mediano 3 e al più giovane 2
Il dono del vecchio pistolero ha sanato la lite e i tre fratelli, pur non spiegandosi le ragioni di quel gesto di altruismo, non possono che ringraziare il vecchio pistolero.
Ma, quest'ultimo fa la somma dei dollari ricevuti dai tra fratelli: 6 + 3 + 2 = 11 dollari, proprio quelli che aveva lasciato in eredità il padre. Può, perciò, riprendersi il suo dollaro e andarsene per la sua strada. I tre fratelli rimangono sbalorditi : "Come è possibile che quello che non tornava all'inizio ora torna perfettamente?" E' sicuramente opera di qualche magia, ma in questo modo sono riusciti a rispettare la volontà del padre e se ne vanno felici e contenti.
Voi, invece, sapete dirmi come è stato possibile tutto questo?
La storia ha dei risvolti profondi sul significato di dono e sul modo di gestire le guerre, ma a noi interessa solo la parte matematica. La soluzione dell'apparente assurdità abbisogna di una breve trattazione matematica e mette in luce anche il significato di "catalizzatore" matematico. Il dodicesimo dollaro ha proprio questa funzione, ossia sveltisce un processo mentale molto più complesso, che avrebbe bisogno di conoscenze non alla portata dei tre figli e -forse- nemmeno del pistolero saggio e altruista.
QUI la soluzione
12 commenti
Tanto per cominciare osservo che...
1/6 + 1/2 + 1/4 = 11/12
quindi la regola stabilita dal padre non prevede la spartizione dell'intero patrimonio, ma solo una parte.
...e per ora mi fermo
non è proprio vero Dany..., la spartizione deve essere dell'intero patrimonio e senza pezzi di dollaro... "reali".
Caro Enzo, magari non è questa la soluzione, ma fin dall'inizio mi son chiesto come avrebbero mai potuto spartirsi tutta l'eredità (qualunque essa sia... fossero anche 12 dollari) con quelle frazioni, dato che la loro somma non è un intero.
Provo a spiegarmi meglio:
1/2+1/4+1/6= (6+3+2)/12 = 11/12
Quindi al di là della somma da spartire, comunque ai tre fratelli ne andrebbero complessivamente 11/12 e 1/12 dell'eredità rimarrebbe lì, senza andare a nessuno dei tre fratelli.
Il pistolero saggio non fa altro che "riprendersi" quel 1/12 di eredità che non va a nessuno dei tre fratelli e che in questo caso lui stesso mette.
Che poi 1/12 aggiunto e ripredo nel caso del quiz sia proprio 1 dollaro, consente di ottenere una suddivisione per numeri interi;
1/2 di 12 = 6 dollari al primo fratello
1/4 di 12= 3 dollari al secondo fratello
1/6 di 12= 2 dollari al terzo fratello
1/12 di 12= 1 dollaro aggiunto e poi ripreso dal pistolero saggio.
1/2+1/4+1/6+1/12= 1
Paolo
Certo Enzone, che deve essere spartito l'intero patrimonio l'avevo capito, ma la regola stabilita dal padre non consente una soluzione matematica dal momento che la somma delle parti è inferiore all'unità 1/6 + 1/2 + 1/4 = 11/12
E... continuo ora da dove mi ero fermata... proprio il fatto che quella somma sia inferiore all'unità fa sì che le percentuali applicate a 12 restituiscano il valore dell'intero patrimonio (11).
La trattazione matematica la lascio a quelli più bravi, ma il concetto credo (spero) sia questo. Ora posso leggere la soluzione di Paolo...
Resta il fatto che la saggia soluzione empirica del vecchio pistolero continua a non tornarmi dal punto di vista strettamente matematico, dal momento che la regola:
"al più vecchio tocchi la metà dei suoi beni, al mediano un quarto e al più giovane un sesto"
alla fine non viene rispettata, visto che 6 non è la metà di 11, ecc...
Dove sbaglio?
Il succo del problema è un po' più sottile. Il padre ha detto di dividere 11 dollari e ha detto di non poter spezzare "praticamente" dei dollari. Tuttavia, i dollari possono essere spezzati "virtualmente". L'importante è che alla fine si ottenga una divisione matematicamente corretta. La somma finale è proprio 11 e non 12. E' per questo che ho detto che il dodicesimo dollaro serve solo come catalizzatore. O, ancora meglio,:
il risultato avrei potuto ottenerlo se avessi sezionato uno degli undici dollari solo virtualmente per poi farlo tornare vivo e vegeto alla fine.
La somma finale è 11 perché (1/6+1/2+1/4)*12=11 e su questo non ci piove, ma non piove neanche sul fatto che 6 non è la metà di 11, 2 non è 1/6 di 11 e 3 non è 1/4 di 11, quindi a mio parere la regola imposta dal testamento viene saggiamente aggirata ma non matematicamente rispettata.
Di sicuro c'è qualcosa nel testo del quiz che mi sfugge, quindi aspetterò la soluzione per capire cos'è...
Detto un altre parole: c'è proprio bisogno del pistolero saggio o non basterebbe, invece, ragionare in termini puramente matematici?
Secondo me non c'è proprio niente di speciale, così come non è necessaria la dodicesima moneta. Semplicemente dando 6,3 e 2 monete si rispetta la condizione di dare ALMENO 1/2, 1/4 e 1/6 dell'eredità. Alla fine, trattandosi di soldi, ognuno prende un po' di più del previsto, cosa che male non fa.
Caro Enzo,
ho fatto questo tipo di ragionamento, anche se ho la sensazione di essere entrato in un loop "diabolico"
Il “garbuglio” nasce dal fatto che le tre quote assegnate ai tre fratelli (1/6 + 1/4 + 1/2) sommano
11 / 12 di unità anziché l’unità intera e si deve far ricorso al dollaro virtuale suppletivo per distribuire quantità intere:
(11 + 1) / 6 = 2
(11 + 1) / 4 = 3
(11 + 1) / 2 = 6
Allora 11 / 12 dell’eredità (con il dollaro virtuale suppletivo) sono stati distribuiti pro-quota :
(11 / 12) × (12 / 6) = 11 / 6
(11 / 12) × (12 / 4) = 11 / 4
(11 / 12) × (12 / 2) = 11 / 2
e sommando le quote distribuite: (11 / 6) + (11 / 4) + (11 / 2) = 121 /12
mentre rimane il residuo 1 / 12 da distribuire sempre pro-quota:
(1 / 12) × (1 / 6) = 1 / 72
(1 / 12) × (1 / 4) = 1 / 48
(1 / 12) × (1 / 2) = 1 / 24
sommando:
(1 / 72) + (1 / 48) + (1 / 24) = 11 / 144 = (11 ^1) / (12 ^2)
adesso rimane il residuo 11 / 144 sempre da distribuire pro-quota:
(11 / 144) × (1 / 6) = 11 / 864
(11 / 144) × (1 / 4) = 11 / 576
(11 / 144) × (1 / 2) = 11 / 288
sommando:
(11 / 864) + (11 / 576) + (11 / 288) = 121 / 1728 = (11 ^2) / (12 ^3)
ulteriore passaggio:
(121 / 1728) × (1 / 6) = 121 / 10368
(121 / 1728) × (1 / 4) = 121 / 6912
(121 / 1728) × (1 / 2) = 121 / 3456
sempre sommando:
(121 / 10368) + (121 / 6912) + (121 / 3456) = 1331 / 20736 = (11 ^3) / (12 ^4)
continuando a ripartire i residui generati per un numero n di volte per n → ∞ , e sommando tra loro le frazioni di residui via via sempre più piccoli, matematicamente equivale a scrivere:
∑ per n da 1 a ∞ di [11 ^n / 12 ^(n+1)] che è una serie convergente
e converge precisamente a 11 / 12.
Riassumendo abbiamo:
121 / 12 di quote relative a 11 / 12 dell’eredità (con il dollaro virtuale suppletivo)
11 / 12 di quote relative ad 1 / 12 dell’eredità (con il dollaro virtuale suppletivo)
sommando: 121 / 12 + 11 / 12 = 132 / 12 = 11
Sembrerebbe allora che il dollaro virtuale sia “svanito”, l’eredità abbia assunto il suo valore originale, i tre fratelli hanno ricevuto il dovuto secondo le quote assegnate, la volontà del padre pistolero è stata rispettata...
caro Andy,
la via è quella giusta, ma si possono semplificare di molto i passaggi e forse cambiare un poco la strategia...
Dici bene alla fine: "l’eredità ha assunto il suo valore originale, i tre fratelli hanno ricevuto il dovuto secondo le quote assegnate, la volontà del padre pistolero è stata rispettata...". Io, però, aggiungerei "senza bisogno di dollaro aggiuntivo... ma facendo i giusti conti e senza paura di tagliare un dollaro solo virtualmente"
Forse la soluzione più semplice è quella di assumere che gli 11 dollari debbano essere ripartiti in quote proporzionali alle frazioni indicate dal padre 1/2, 1/4 e 1/6 (la cui somma è 11/12).
In questo modo le frazioni vengono normalizzate così:
1/2 x 12/11 = 6/11
1/4 x 12/11 = 3/11
1/6 * 11/11 = 2/11
A questo punto basta moltiplicare gli 11 dollari per le frazioni normalizzate e il gioco è fatto!