Categorie: Matematica
Tags: barzelletta geometria Odifreddi parabole quiz soluzione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:11
Due parabole sono meglio di una... (con soluzione)**
Le risposte datemi sono corrette, ma quella di Leandro nei commenti è la più rapida e d è presentata in modo chiaro e orinato. Possiamo prenderla senza dubbio come soluzione!
Antefatto
Chiacchierando al telefono, il nostro amico Frank mi ha proposto una barzelletta raccontata da Odifreddi durante una sua conferenza sulle coniche. L'interesse, però, non è tanto racchiuso nella barzelletta in sé, ma nella reazione che ha avuto da parte di un pubblico piuttosto numeroso (Odifreddi è un personaggio televisivo e, quindi, la gente corre a sentirlo qualsiasi cosa intenda dire).
Eccovi la barzelletta:
Gli apostoli si stanno riposando in un'oasi. Come spesso capita, Gesù si alza e, salito su una roccia, comincia a predicare: "Ipsilon uguale ad a per ics al quadrato più bi moltiplicato per ics più ci, ma, attenzione!, per a diverso da zero!" Gli apostoli si guardano tra di loro stupiti e un po' preoccupati... Pietro prende la parola: "Signore ti senti bene? Forse hai preso troppo sole durante la traversata nel deserto. Possiamo fare qualcosa per te?" Gesù risponde: "Che dici mai, Pietro, ti sorprendi in tal modo solo perché vi ho narrato una ... parabola!".
Barzelletta discreta, poco più, ma sufficiente a causare ilarità... e, invece, solo due persone hanno abbozzato una risata, mente tutti gli altri sono restati muti, con la faccia stralunata al pari degli apostoli.
Lo scopo era stato raggiunto. La barzelletta voleva essere un "test" sulla preparazione "geometrica" di base della gente comune e il test ha risposto esaurientemente. Se avesse chiesto chi era il portiere del Milan o il vincitore di una gara canora televisiva, la partecipazione del pubblico sarebbe stata ben maggiore. Siamo alle solite... la gente comune usa la tecnologia, ma rifiuta categoricamente le discipline che l'hanno permessa, come la matematica, la geometria, la fisica e la chimica. Anzi, ormai, è quasi un peccato interessarsi a cose che appaiono del tutto inutili e chi lo fa viene addirittura dileggiato. A riguardo ci sarebbe da parlare lungamente e approfonditamente, ma -fortunatamente- non nel mondo ristretto e molto anomalo del nostro Circolo. Passiamo perciò al vero scopo di questo articolo e "narriamo" non una ma due parabole!
Il quiz geometrico
Consideriamo due parabole, la prima è data dall'equazione
y2 = x
e la seconda dall'equazione
y = x2 + c
Si chiede:
Determinare il valore di c affinché le due parabole si tocchino in un solo punto, ossia siano tangenti tra di loro.
Una coppia di "parabole" non certo difficili da interpretare... qui da noi!
11 commenti
Direi di trovare le due derivate prime e porle uguali tra loro. Così ricavo il valore di x da andare a sostituire nella seconda parabola per ricavare c. Ma ora sono in spiaggia e mi faccio un'altra nuotatina. Magari ci provo domani ;-)
Mi viene c=(3/8)·³√2. Ma non si può inserire un'immagine dal PC?ù
Domani cerco di postare i calcoli.
A grandi linee i calcoli sono questi:
x=y² ⇒ x'=2y ⇒ y'=1/(2y)
y=x²+c ⇒ y'=2x
Stesso coefficiente angolare:
1/(2y)=2x ⇒ 4xy=1 ⇒ 4y²·y=1 ⇒ y^3=1/4 ⇒ y=1/³√4
Stesso punto:
x=y²=1/³√16=1/(2·³√2)
y=x²+c ⇒ 1/³√4=1/(2 ³√2 )²+c ⇒
c=1/³√4-1/(2 ³√2 )²=1/³√4-1/(4 ³√4)=(4-1)/(4 ³√4)=3/(4·³√4)·(³√2/³√2)=(3/8)·³√2
Con un attimo di calma, cerco di spiegare nel dettaglio i calcoli del post precedente:
Perché due parabole siano tangenti devono: 1) avere un punto P(x₀;y₀) in comune e 2) avere la stessa retta tangente in P.
Ricordando che la derivata di una funzione in x₀ è il coefficiente angolare della retta tangente che passa per il punto della funzione di ascissa x₀, per avere la stessa retta tangente le due parabole devono avere la stessa derivata in un punto.
La derivata di y=x²+c è y'=2x, mentre quella di x=y² è x'=2y.
Ora facciamo attenzione: nel primo caso abbiamo calcolato la derivata di y rispetto ad x (dy/dx), mentre nel secondo quella di x rispetto ad y (dx/dy).
Ovviamente, dobbiamo conoscere entrambe le derivate rispetto ad x. Ricordiamo che scambiando la x con la y si ottiene la funzione inversa, e che la derivata della funzione reciproca di x=f(y) è il reciproco della derivata di f(y), otteniamo che la derivata della funzione inversa di x=y² è y'=1/(2y).
Ora y'=2x e y'=1/(2y) sono i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola. Imponendo che in P le tangenti abbiamo lo stesso coefficiente angolare otteniamo
1/(2y₀)=2x₀
Riduciamo in forma intera moltiplicando entrambi i membri per 2y₀:
4x₀y₀=1
Ma il punto P deve appartenere alla parabola x=y², e quindi le sue coordinate devono verificare la sua equazione (condizione di appartenenza): quindi, essendo x₀=y₀², possiamo sostituire nell'equazione 4x₀y₀=1 x₀ con y₀²:
4y₀²·y₀=1 ⇒ y₀³=1/4
Estraiamo radice cubica:
y₀=³√(1/4)=1/³√4
Per ricavare l'ascissa di P imponiamo nuovamente la condizione di appartenenza alla parabola x=y²:
x₀=y₀²=(1/³√4)²=1/³√16=1/(³√8·³√2)=1/(2·³√2)
Riepilogando, il punto di tangenza è P(1/(2·³√2);1/³√4)
Ma P deve appartenere anche alla parabola y=x²+c: quindi possiamo applicare la relativa condizione di appartenenza:
y₀=x₀²+c ⇒ 1/³√4=[1/(2·³√2]²+c ⇒ 1/³√4=1/(2³·√2)²+c
Ricaviamo c:
c=1/³√4-1/(2·³√2)²=1/³√4-1/(4·³√4)
Riduciamo al minimo comune denominatore:
(4-1)/(4·³√4)=3/(4·³√4)
Razionalizziamo:
c=3/[4·³√(2²)]·(³√2/³√2)=(3·³√2)/[4·³√(2³)]=(3·³√2)/(4·2)=(3/8)·³√2
Errata-corrige: funzione reciproca ⇒ funzione inversa
caro Marco,
mi compiaccio della tua partecipazione ma ti consiglierei di limitarti a derivate di y e non di x. D'altra parte è facile scrivere entrambe le parabole come y = ..., date le condizioni del problema (non tutta la parabola y2 = x può, infatti, avere la tangenza). Il mio è solo un consiglio per non appesantire i calcoli...
Il ragionamento e i calcoli di Marco sono corretti, ma esplicitando tutto in funzione di x si può risparmiare qualche passaggio.
Un immagine schematica riassume il tutto:
considerando la prima parabola in funzione di x come y = ±√x ed eguagliando le derivata di y = √x con quella di y = x^2 + c (nel caso di y = ±√x solo la derivata positiva perché sennò l'eguaglianza tra la due derivate non avrebbe soluzione).
proprio così Andy... si guadagna un passaggio. La tangenza può averla solo con il ramo superiore.
Giunto in ritardo causa dubbio sul grafico:
Avevo provato a disegnare il grafico con il calcolatore del mio smartphone, ma "c" lo vedevo = 1,2. Boh!
Il risultato è corretto, anche se hai preferito il mare d'inverno (quasi...)
Comunque ora ho trovato anche l'errore nel grafico, avevo moltiplicato per due, avevo scritto y = 2 x ^1/2