Ricordiamo, innanzitutto, che le rette che passano per i vertici e il centro del cerchio inscritto sono le bisettrici degli angoli. La dimostrazione è immediata in quanto le perpendicolari dal centro ai tre lati sono uguali tra loro, essendo i raggi del cerchio. Si ottengono coppie di triangoli rettangoli uguali (rosa e giallo) che, come tali devono avere gli angoli uguali, come mostra la Fig. 1.

Disegniamo, adesso, il nostro quadrilatero, evidenziando il triangolo CDB e l'incentro G (Fig. 2).

Per quanto detto prima l'angolo GCB è la metà dell'angolo DCB. Similmente per gli altri due angoli. Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180°, la somma delle loro metà deve essere uguale a 90°. Possiamo scrivere:

BDC/2 + DCB/2 + CBD/2 = 90°

BDC/2 = 90 - DCB/2 - CBD/2                  .... (1)

Nel triangolo GCB possiamo scrivere:

CGB + GCB + GBC = 180°

ossia

CGB + DCB/2 + CBD/2 = 180°

CGB = 180° - DCB/2 - CBD/2 = 90° + 90° - DCB/2 - CBD/2

Ma, per la (1)

CGB = 90° + BDC/2          .... (2)

Ripetiamo la stessa procedura per i triangoli CAB e CHB (Fig. 3)

BAC/2 + ACB/2 + CBA/2 = 90°

BAC/2 = 90° - ACB/2 - CBA/2

CHB = 180° – HCB – HBC = 90° + 90°  – ACB/2 – CBA/2 

CHB = 90° + BAC/2           .... (3)

Costruiamo la Fig. 4

Gli angoli BDC e BAC sono uguali perché angoli alla circonferenza dello stesso arco CB.

Possiamo scrivere

BDC = BAC

e, quindi, dalla (2) e dalla (3)

BGC = BHC

Se questi due angoli sono uguali significa che anche il quadrilatero CGHB è ciclico, dato che deve esistere una circonferenza per cui gli angoli alla circonferenza dell'arco CB siano uguali.

Ma se il quadrilatero CGHB è ciclico, la somma degli angoli opposti sia deve valere 180°.

BCG + BHG = 180°

Lo stesso procedimento si può fare per il quadrilatero azzurro AEHB e concludere che:

BAE + BHE = 180°

Sommiamo le ultime due relazioni:

BCG + BHG + BAE + BHE = 360°

BHG + BHE = 360° – BCG – BAE = 360 – BCD/2 – BAD/2          .... (4)

Ma ABCD è un quadrilatero ciclico per cui:

BCD + BAD = 180°

BCD/2 + BAD/2 = 180/2 = 90°

sostituendo nella (4) otteniamo:

BHG + BHE = 360° - 90°= 270°

GHE = 360° - 2u70° = 90°

Analogo procedimento per ogni angolo del quadrilatero che ha per vertici gli incentri e che, di conseguenza, deve essere un rettangolo.