Categorie: Matematica
Tags: Arogatip Pitagora quiz triangolo scaleno
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:24
(QI) Il fratello sfortunato di Pitagora ***
Si dice che il grande Pitagora avesse un fratello gemello, Arogatip, altrettanto bravo in matematica e geometria, ma decisamente meno fortunato. Mentre Pitagora diventava famoso per il suo teorema relativo al triangolo rettangolo, Arogatip cercava di andare ancora oltre, dedicandosi a triangoli qualsiasi. Purtroppo, non trovò mai una relazione altrettanto fortunata e il suo teorema rimase nel dimenticatoio per secoli e secoli e mai gliene fu data la paternità. E' ora di dare a Cesare quel che è di Cesare e aiutarvi a determinare la strategia di Agoratip.
Egli diceva:
Dato un triangolo scaleno qualsiasi (non rettangolo) è sempre possibile costruire tre triangoli esterni ad esso, diversi tra loro come forma, che lo tocchino solo in un vertice, ma tali da avere, ciascuno, la stessa area del triangolo di partenza. Tutto ciò con l'uso di una riga non graduata e di un compasso molle.
Qualcosa come quanto raffigurato nella figura che segue:
Forse ci sono altri metodi per raggiungere lo scopo, ma vediamo se alcuni di voi riusciranno a seguire la costruzione di Arogatip... Lui ne sarebbe veramente felice.
Alla fine, vedrete, si aprirà un nuovo "mondo" geometrico.
24 commenti
Il fatto che tutti i triangoli abbiano basi parallele è casuale ?
non credo si perda in generalità... l'importante è che si mantenga la relazione tra gli angoli. Almeno, mi sembra ...
scusa Mau... pensavo che commentassi ancora il triangolo del precedente quiz... No, possono essere orientati come vuoi, l'importante è l'uguaglianza delle aree e la costruzione alla greca.
L'area del triangolo è metà del prodotto della base per l'altezza. Se dimezzo la base e raddoppio l'altezza avrò la medesima area. Posso costruire graficamente questa condizione come in questa figura.
Scegliendo il punto E in una qualsiasi posizione intermedia ottengo triangoli di uguale area e forma diversa.
La stessa costruzione la posso eseguire sugli altri vertici del triangolo giallo.
Posso anche dividere la base in più parti con dimezzamenti successivi oppure la posso dividere in un qualsiasi numero di parti con il metodo di Ippocrate di Chio (spiegato qui) e realizzare altri triangoli con forme ancora diverse.
Naturalmente questa soluzione non sarà quella auspicata dall'amico Arogatip, però mi pare che funzioni anche se il triangolo giallo è rettangolo (forse è proprio nella limitazione che non lo deve essere che si nasconde il segreto di Arogatip)
Immaginavo che vi fossero altri metodi per ottenere lo scopo... ma per non renderlo troppo facile ho dovuto presentarlo in modo meno intuitivo e rapido.
Il non essere triangolo rettangolo si riferisce soltanto a una particolarità dei 4 triangoli, ma, in generale, funziona lo stesso.
Ricordiamoci che Arogatip conosceva bene Pitagora e ne era sicuramente un po' invidioso...
Primo teorema di Arogatip
Su ciascun vertice del triangolo ABC è possibile costruire un rettangolo avente come lati la sua base e la sua altezza. All'interno di tale rettangolo possono essere inscritti infiniti triangoli di pari area ma di forma diversa
Interessante teorema, anche se non è quello Arogatip. Spiegheresti meglio il trasporto di AH in CC' con riga e compasso molle?
Arogatip è stato molto più elegante...
Dopo avere prolungato AH riportando la sua misura in HK, traccio due cerchi.
Centro K e raggio CH Centro C e raggio AH Alla loro intersezione trovo C' e lo congiungo a C
Si prolunga AH e si segna K . Cerchio centro A raggio CB + Cerchio centro B raggio AC e si trova D
Area AKD = Area ACB e forma diversa (però il triangolo viola è rettangolo)
Comunque si può sempre modificare la forma del triangolo trasportando KD in K'D' e ottenere il triangolo K'AD' non rettangolo di uguale area con infinite varianti.
Trasporto CB in C'B'
Prolungo B'A in AB" ( AB" = AB') e C'A in AC" (AC" = AC') collego B"C"
Area AB"C" = area AB'C' = area ABC
mi spaventa un po' quando dici "trasportando"... E' un'operazione da spiegare meglio con compasso molle...
Comunque, siamo sempre lontani da Arogatip
Non farti prendere dal panico...
Basta riportare la distanza BC sul prolungamento del lato BC usando una apertura del compasso pari alla lunghezza BC e avendo l'accortezza di puntare il compasso in B', scelto internamente al segmento BC, andando ad intersecare con l'altra punta il prolungamento di BC, per ottenere la traslazione necessaria.
Ci sono riuscito al primo tentativo.
Sono certo che i più audaci , con un po' di esercizio, riusciranno a "trasportare" BC in qualsiasi posizione sulla retta che contiene il lato BC, scegliendo il punto B' in qualsiasi modo, anche fuori dal lato BC, purché appartenga sempre alla retta che contiene BC.
ma non puoi aprire il compasso tra due punti e poi posizionarlo, già aperto, in un altro punto. O, almeno, va spiegata l'intera strategia...
Allora facciamo in questo modo:
Prolungo il lato CB. Compasso in C e raggio CB. Trovo B'
Prolungo il lato B'A . Compasso in A e raggio B'A. Trovo B''
Prolungo il lato CA . Compasso in A e raggio CA. Trovo C'
Unisco AB''C' e ho il triangolo di area = ABC e forma diversa.
Così andiamo meglio... ma Arogatip non |è molto contento... si aspetta qualcosa di più elegante e ... pitagorico
B' simmetrico di B rispetto A
Traccio la parallela ad AB per il punto C
Scelgo C' in un punto qualsiasi della retta per C
Se Arogatip è interessato a triangoli con uguale area ma altezze e basi diverse dal triangolo di partenza, allora può realizzare questa costruzione.
caro Mau,
mi compiaccio della tua perseveranza che ha mostrato esaurientemente come sia relativamente facile costruire certi triangoli. Tuttavia, sono costruzioni che hanno poco a che fare con la lezione di Pitagora e che, quindi, Arogatip non ha preso nemmeno in considerazione... Se vuoi, cerca di cambiare approccio...
Visto che perseverare è diabolico, concludo la infruttuosa serie di tentativi con questo, anche per non sprecare il tuo tempo e prolungare l'attesa della soluzione da parte dei lettori.
Passo dal triangolo iniziale ABC al suo equivalente rettangolo ABC'
Riproduco ABC' in ADE
Scelgo E' per avere ADE' che è equivalente a ADE ma non è rettangolo.
Lo sai che, volente o non volente, stai avvicinandoti ? Fuochino, fuochino...
Non credo che questo post-ultimo schema sia quello che piace al tipo. In ogni caso le costruzioni contenute si possono fare con la riga e il "compasso della mutua".
Adesso però mi fermo davvero, anche se mi dirai che il fuoco divampa a Samo e a Metaponto.
Fermiamoci un attimo e ragioniamo...
Innanzitutto ringrazio di cuore Mau per aver tenuto vivo questo quiz che appare più ostico del previsto. Anzi, diciamo meglio... Maurizio lo ha risolto in vari modi sfruttando essenzialmente una strategia, ossia quella di costruire un triangolo che, dovendo avere uguale area, deve anche avere una certa altezza e una certa base. Che siano le stesse del triangolo di partenza o che siano dei loro multipli o divisori poco importa. Tutto si basa sulla ben nota formula
Area = 1/2 base x altezza.
Il nostro Arogatip, invece, si è basato su un'altra proprietà del triangolo che comporta quasi automaticamente la costruzione di triangoli di uguale area, indipendentemente dalle loro basi e altezza. Proprio questa caratteristica riporta il teorema vicino a quello del più celebre fratello. Forse voleva strafare, ma in qualcosa è comunque riuscito...
Bene, vi ho dato un grosso aiuto, direi...