Categorie: Matematica
Tags: area geometria sferica lunula triangolo sferico
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
Triangoli sferici, ovvero "come sbucciare un'arancia" **
Non è la prima volta che parliamo di triangoli sferici. Tuttavia, in questo articolo vogliamo determinarne l'area, in un modo estremamente semplice, lavorando solo sulla superficie della sfera.
Sbucciamo un'arancia
Non è certo difficile tagliare un'arancia a spicchi, dato che uno spicchio sferico non è altro che la parte di sfera racchiusa tra due cerchi massimi, come mostra la Fig. 1
![](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2023/08/trisfe1-600x548.png)
Noi, però, non vogliamo incidere in profondità il frutto, ma solo "sbucciarlo", ossia eliminare la buccia dello spicchio. Un po' come mostra la Fig. 2.
![](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2023/08/trisfe2.png)
Bene, la buccia di uno spicchio prende il nome di fuso o -io preferisco- lunula sferica.
Cominciamo proprio con essa e vediamola rappresentata in Fig. 3, sotto varie angolazioni.
![](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2023/08/trisfe3-600x531.png)
In realtà il procedimento che adottiamo determina sempre due lunule uguali (verde e azzurra). Non solo, però... i due cerchi massimi dividono la superficie dell'arancia in 4 lunule, uguali a due a due. Per adesso consideriamo la lunula di ampiezza minore (azzurra) e la sua "gemella" (verde).
Possiamo utilizzare la Fig. 3b dove si individua molto bene l'angolo diedro a compreso tra i due cerchi massimi. Esso è anche l'angolo che caratterizza la lunula sferica azzurra. e quella identica di colore verde.
E' immediato scrivere una semplice proporzione:
4π r2/2π = L(a)/a
dove 4π r2 è l'area dell'intera superficie sferica e L(a) è l'area della lunula azzurra (o verde).
L(a) = 2 a r2 .... (1)
Formiamo un triangolo
Non ci vuole molto a ottenere un triangolo sferico. Basta tagliare la nostra lunula con un nuovo cerchio massimo, come mostra la Fig. 4.
![](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2023/08/trisfe4-600x231.png)
Il nuovo cerchio massimo introduce due nuove lunule (con le loro gemelle, che abbiamo colorato dello stesso colore). Le abbiamo colorate di rosa e di giallo. La loro intersezione è il triangolo sferico colorato in arancione con i suoi tre angoli a, b e c (ogni angolo identifica la coppia di lunule corrispondenti).
Notiamo che, per la completa simmetria della situazione, dalla parte opposta della sfera si viene a costruire un triangolo sferico perfettamente uguale ad ABC. Esso è formato, ovviamente dall'intersezione delle tre lunule "gemelle". Chiamiamo T la sua area.
Non ci resta che ragionare un pochino e non farsi confondere dalla visione tridimensionale della sfera.
Se sommiamo le aree delle tre lunule e quelle delle tre gemelle copriamo completamente la superficie sferica. Anzi, abbondiamo... Infatti, sommando le sei lunule siamo costretti ad aggiungere tre volte il triangolo sferico e il suo "gemello", mentre a noi basta contarli una volta...
Possiamo comunque scrivere che la somma delle sei lunule è uguale alla superficie sferica più 4 triangoli sferici (ne crescono solo 4, dato che due ci servono per completare la superficie sferica). In termini matematici semplicissimi:
2(L(a) + L(b) + L(c)) = 4πr2 + 4T
4T = 2(L(a) + L(b) + L(c)) - 4πr2
T = (2(L(a) + L(b) + L(c)) - 4πr2)/4
T = (L(a) + L(b) + L(c))/ 2 - πr2
Ricordando la (1):
T = (2 a r2 + 2 b r2 + 2 c r2 )/ 2 - πr2
T = a r2 + b r2 + c r2 - πr2
T = r2(a + b + c - π)
Questa formula ci ricorda anche che la somma degli angoli di un triangolo sferico non è uguale a 180°, ma dipende dall'area del triangolo
7 commenti
Però non mi è chiaro: la somma dei tre angoli abc misura più di 180 gradi; se sottraggo 180 gradi trovo la differenza in gradi rispetto un triangolo piano; questa differenza la moltiplico per il raggio al quadrato e trovo l'area del triangolo sferico.... Non ne afferro il significato geometrico
caro Albertone,
non mi è chiaro perché non ti è chiaro... Tutto torna perfettamente con la superficie sferica che è proprio uguale a 4π r2. Se non ti torna la formula per il triangolo non può nemmeno tornarti la formula della superficie sferica...
Forse potrebbe servirti questo articolo...
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2018/02/27/datemi-leva-vi-misurero-mondo/
Credo di capire cosa non capisco. π io lo penso come un rapporto (tra circonferenza e diametro) e non come un angolo (180 gradi).
Cioè l'area di un cerchio è una lunghezza per una lunghezza per un certo rapporto, ma qui abbiamo una lunghezza per una lunghezza per un angolo...
Invece anche il radiante è un rapporto adimensionale
Bene, scusa, adesso, spiegandoti il dilemma, mi è diventato tutto chiaro: l'area raggio per raggio viene corretta moltiplicandola per un certo rapporto, non per un angolo (in gradi)
Ti faccio notare che, ad esempio, 18° non è un angolo,
Un angolo è una figura geometrica che si trova nel piano e dunque fisicaente bidimensionale e misuraa per esmpio in m^2.... se non fosse per un particolare,.. checdaebbe un numero infinito di m^2....dunque misurare in m^2 gli angoli piani non conviene.... il cerchiettobaccanto al 18 che è un numeo e come tale adimensionale, come il radinte di cui parli, ha il sol scopo di ricordarci il modo con cui abbimo deciso di comparare gli angoli. U angolo di 30° sarà il dopio di uno di 15° non perche ha doppia area, ma perche ponendo consecutivamente due angoli di 15^° si otiene un angolo che è cooeente pensarlo di 30° gradi cioe un dodicesimo di angolo giro...
Inoltre ti faccio notare che nella formula dell'area dela sfea 4π non sono radianti ma steradianti...