L'aritmetica dei Krull è inserita in Matematica e Geometria

 

Krull 4: Facciamo le parti

Mentre su Krull ciascuno ha la propria casa, sulla Terra, dove ci sono nove miliardi di abitanti, capita che una casa appartenga contemporaneamente a più persone. Ciascuno ne possiede una parte, e per far capire a tutti quanta se ne possiede si sono inventati i millesimi, una cosa micidiale.

Praticamente dicono così: se la casa fosse divisa in mille parti uguali e Tizio fosse proprietario di 10 di queste parti, diremmo che possiede 10 millesimi (talvolta in questo caso, per farla più semplice, dicono che Tizio possiede l'1%, un simbolo ridicolo che significa 1 parte su 100).

Galassia che vai, usanze che trovi.

Ma, maestro non avevamo detto che tutto il cosmo è galassia?

Giusto! E lo confermo, ma nessuna affermazione può essere totalmente vera, quindi va bilanciata dalla sua opposta per coprire tutti i casi, tutte le sfaccettature della realtà.

Occorre usare senso critico e capire quando è logico usare l'una o l'altra.

Comunque, tornando alle case in condominio, meno male che da noi non esiste questa complicazione anche se, per altri versi, abbiamo comunque l'esigenza di suddividere alcune cose tra più persone, magari semplicemente in parti uguali.

Esempio di divisione in parti uguali con resto

I terrestri insegnano le operazioni usando esempi “dolciari”. Dicono: “Allegri, bambini, ci sono 33 caramelle al lampone da dividere in parti uguali tra 3 di voi. Chi vuole fare questa operazione ? “

Tutti rispondono “IO, io !”

Il problema è che, continuando a parlare di fette di torta e di caramelle tutti i giorni, si stimola il desiderio e così, a casa, con la scusa di esercitarsi con i compiti, i bambini si abbuffano di questa roba.

Poi arriva la carie e nei casi più gravi di bambini a cui piace l'aritmetica, (ma sono davvero pochi) si può anche diventare diabetici.

Noi non parleremo mai di cibo nel nostro corso, solo di “cose”.

Come si risolve il problema della equa ripartizione? Democraticamente, perbacco !

Se siamo in D (=4 ) e ci sono D (=4) “cose”, allora non ci sono dubbi. Ciascuno si prende una cosa, cioà A, e non resta nulla.

Ma se le “cose” fossero E (=5) ?

Allora dopo che ciascuno si è preso la propria “cosa” ci sarebbe ancora una cosa da prendere.

E chi se la prende? Nessuno.

Quella cosa si chiama resto ( proprio perché resta lì, sul tavolo) e nel nostro caso vale A.

Ma scusi maestro, se le cose fossero tante, ma proprio tante, diciamo A00 (=49), non sarebbe logico che ciascuno ne prendesse ancora un po'?

Sicuro, funziona proprio così. Ciascuno continua, ordinatamente, senza spingere, a prendersi una cosa dopo l'altra, a turno, per cui il resto si riduce sempre di più e alla fine, nel preciso momento in cui diventa più piccolo del numero di persone (quindi minore di D) tutti la smettono di prendersi le cose rimaste.

Questo modo democratico di prendersi le cose si chiama divisione. Ognuno ha preso la stessa quantità degli altri.

Ma quant'è di preciso questa quantità?

Al primo giro vale A(=1), al secondo vale B(=2), al terzo vale C(=3) eccetera. Insomma è il numero di volte che ciascuno si è preso la sua parte.

Se rimettessimo a posto ordinatamente tutto ciò che è stato preso, faremmo lo stesso numero di giri e sommeremmo al resto le nostre 4 parti ricomponendo il numero di partenza.

La divisione è costituita da una serie di sottrazioni. L'operazione inversa è una serie di somme.

Questa serie di somme la chiamiamo “moltiplicazione” e anche lei è una manifestazione di democrazia, ma ne parleremo in un'altra occasione.

“Ma, signor maestro, è possibile che non ci sia proprio nessun modo di dividersi anche quel resto della divisione?

“Ebbene un modo ci sarebbe, naturalmente lo ha pensato Aristot. Se proprio volete ve lo spiego utilizzando il primo esempio che avevo proposto. Ricorderete che avevamo diviso E cose tra D persone, ottenendo il risultato A e un resto che valeva pure lui A. Immaginiamo che questo resto sia scomponibile in tanti elementi quante sono le nostre dita, ossia la base della nostra numerazione. Adesso proseguiamo la divisione e, per sottolineare il fatto che stiamo dividendoci il resto, mettiamo una virgola prima di scrivere il seguito del risultato che al momento è A.

Ciascuno si prende uno ( ossia A) degli A0 elementi piccoli. In tutto ne sono stati presi D e rimarrà il resto di C elementi che andremo a scomporre come prima in elementi più piccoli. Avremo ora A0 + A0 + A0 = C0 di questi elementi. I terrestri direbbero che sono 21.

Di nuovo ciascuno si prenderà la propria parte, questa volta sarà E, e rimarrà un resto uguale ad A.

Suddivideremo A come prima e avremo A0 che verrà diviso ottenendo A con resto A. E da questo momento, andando avanti, si ripeterà ciclicamente la stessa sequenza di risultati e resti.

In conclusione, il valore del risultato diventa A,AEAEAE ...dove AE si ripete indefinitamente.”

“Accidenti, che lavoro, ma è sempre così complicato?

“No, non sempre, per esempio se le cose da dividere fossero D0 e le persone fossero sempre 4, allora la divisione sarebbe molto semplice: D0 : 4 = A0 e finisce lì.”

“ E i terrestri come fanno, con quella loro base 10?”

“Alcune volte gli va bene e altre no. Per esempio se devono dividere, con i loro numeri, 21:3 ottengono subito 7 con resto zero. Ma se invece di 21 il dividendo fosse 19...

19:3 = 6 con resto 1 e poi, dividendo quel resto, avrebbero dopo la virgola una fila infinita di 3.”

“Ma come è possibile scrivere una fila infinita di 3 ?”

“Loro scrivono (3) per dire che questo valore si ripete per sempre, una cosa piuttosto furba no?

E il numero lo definiscono periodico, cosa che facciamo anche noi.”

“Quindi, nell'esempio di prima bisogna scrivere A, (AE) ?”

“Proprio così e già che ci siamo, sappiate che quella parte di risultato chiuso tra parentesi si chiama periodo, sia per noi che per i terrestri.

Prima che suoni la campanella vi lascio come compito a casa di trovare due numeri Krull che, divisi tra loro, diano un risultato periodico in cui il periodo è di una singola cifra”

Risposta al quesito.

Basta dividere un numero per la base diminuita di 1.

esempio: 1/6 = 0 con resto 1. Questo resto lo moltiplico per la base ( che ipotizzo = 7) e ottengo 7

Proseguo la divisione così: 7/6 = 1 con resto 1 e da qui in poi è sempre la stessa cosa.

Quindi, in base 7, avendo al numeratore 1 e al denominatore 6 (ossia la base – 1) ottengo il seguente risultato: 0,1111111 ( per i terrestri succede la stessa cosa con 1/(10-1) )

in cifre Krull … A/F = 0,AAAAAAA