13/12/23

(Q) La minima distanza **

Un quiz geometrico non difficile, ma che, come al solito, abbisogna di un minimo di fantasia. Ovviamente, niente trigonometria o studio di funzioni: solo pura geometria.

Sia dato un quadrato ABCD di lato unitario. Si consideri un punto P qualsiasi del lato DC e si congiunga A con P. Da P si tracci la perpendicolare ad AP in modo che incontri in un punto E il lato BC, come mostra la figura.

Determinare il valore minimo del segmento AE al variare di P.

Sapendo che si impegneranno solo i più esperti, chiedo per favore che siano esplicitati e spiegati dettagliatamente tutti i passaggi.

7 commenti

  1. Fabrizio

    Questa è mia soluzione non totalmente geometrica, ma quasi.

    Segue testo nascosto.

    Il segmento AE decresce quando il punto E sale.

    Trovare il minino di AE è quindi equivalente a trovare il massimo di CE al variare di P.

    I triangoli ADP e PCE sono simili, quindi AD:DP=PC:CE.

    Poiché AD=1 e PC=1-DP la relazione diventa 1:DP=(1-DP):CE.

    Ricavo che CE=DP(1-DP). La parte destra della equazione è simmetrica rispetto a DP=1/2 e ha il massimo in questo punto. (deviazione dalla sola geometria).

    Il minimo di AE si ha quando DP=PC=1/2   CE=1/4  AD=1

    AE=radice(AP^2+PE^2)=radice(AD^2+DP^2+PC^2+CE^2)=radice(1+1/4+1/4+1/16)=radice(25/16)=5/4

     

  2. Arturo Lorenzo

    ecco la mia soluzione con testo nascost0

    Quando P coincide con D, la lunghezza dell’ipotenusa AE è pari alla diagonale del quadrato di lato unitario e il segmento EC degenera nel punto C. Altrettanto accade quando P coincide con C. In tal caso la lunghezza dell’ipotenusa AE è nuovamente pari alla diagonale del quadrato di lato unitario e il segmento EC di nuovo degenera nel punto C. Il valore minimo di AE si ha evidentemente in corrispondenza del valore massimo di EC. Più corto è il segmento EC , più lungo sarà AE e viceversa.

    Considero i triangoli rettangoli ADP e ECP. Essi sono simili per avere i tre angoli omologhi congruenti. Infatti , se indico con alfa l’angolo DAP, l’angolo DPA sarà 90°-alfa. Essendo l’angolo APE retto per costruzione, l’angolo EPC sarà allora 180°-[90°+(90°-alfa)] = alfa. Essendo tra loro congruenti due angoli omologhi dei due triangoli, lo sarà anche il terzo, per cui i due triangoli hanno i tre angoli omologhi congruenti.

    Essendo, dunque, simili i suddetti triangoli, se pongo DP=x, posso scrivere :

    EC / x = (1-x) / 1

    Da cui

    EC=x (1-x)

    Posso ora considerare il prodotto a secondo membro come l’area di un rettangolo di lati x e (1-x) , il cui perimetro  è 2x+2(1-x) cioè 2 . Quale è il rettangolo di perimetro 2 e area massima (visto che cerchiamo il valore massimo di EC)  ? Quella di un quadrato di lato 2/4, cioè 1/2. Quindi, ho il valore massimo di EC , quindi il valore minimo di AE, quando x=1/2. Ossia quando il punto P si trova nel punto medio di CD.

  3. Giorgio

    Caro Enzo,

    Non ti allego soluzione ma ti faccio TANTISSIMI AUGURI di BUON NATALE ! ...e ottimi risultati delle analisi

  4. Arturo Lorenzo

    nella mia risposta avevo omesso alla fine di calcolare il valore minimo di AE, ma una volta determinato per quale posizione di P si ottiene è quasi immediato calcolarlo. Avevo preparato una figura fatta a mano ma se la pubblico non posso renderla invisibile. Per ora dico solo che il valore minimo di AE è (risultato in testo nascosto)  5/4.

  5. Arturo Lorenzo

    ecco, aggiungo il link alla figura con cui ricavo il valore minimo di AE. Testo nascosto. Per vedere l'immagine, copiare&incollare il testo nascosto del link in un browser:

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2023/12/20231214-194123.jpg

  6. Arturo Lorenzo

    e va bene, ci ho provato a nascondere il testo del link, ma il sistema lo ha riconosciuto comunque come link è lo ha reso visibile e clickabile , pazienza :lol:

  7. Marco

    Salve a tutti,

    è la prima volta che rispondo,  visto che ormai chi avrà voluto fare i suoi calcoli li avrà già fatti, non nasconderò il testo.

    la misura minima di AE si ottiene quando P è equidistante da D e da C.

    questo perchè analizzando i casi limite in cui P coincide con D e P coincide con C, il segmento AE corrisponde alla diagonale del quadrato. Allontanandosi dai vertici il segmento si riduce, pertanto la massima riduzione si avrà nel  punto in cui P è ugualmente lontano da D e da C.

     

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.