Sapete ormai benissimo che io amo la geometria, anche la più semplice. Soprattutto quando un po' di fantasia e di razionalità la rendono un vero e proprio "gioco".

Oggi parliamo nuovamente di un triangolo qualsiasi e prendiamo di mira le sue mediane. Ovviamente, tutti sanno che esse sono i segmenti tracciati dai vertici fino al punto medio del lato opposto. Le mediane si incontrano in un punto che viene chiamato baricentro.

Non tutti sanno, però, che esse sono alla base di due importanti teoremi e che entrambi possono essere dimostrati attraverso una semplice... rotazione.

In Fig. 1, a sinistra, disegniamo il nostro triangolo con le sue mediane AL, BM e CN che si incontrano in G.

Ciò che sappiamo è che AN = NB, BL = LC e CM = MA.

Vogliamo dimostrare che GB = 2GM, GN = 2 GC e AG = 2GL. In altre parole, il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui una è doppia dell'altra.

Inoltre, vogliamo anche dimostrare che i 6 triangoli in cui le mediane dividono il triangolo di partenza sono equivalenti tra di loro, ossia hanno la stessa area.

I due teoremi si risolvono con un "colpo" solo: basta dividere il nostro triangolo in tre parti, usare una forbice ed effettuare una rotazione di 180°. Le tre parti sono quelle di colore diverso nella parte destra di  Fig. 1.  I tre triangoli colorati li trattiamo uno per uno... Cominciamo con quello azzurro in Fig. 2a.

Prendiamo le nostre forbici e tagliamo il triangolo azzurro lungo GN. Facendo centro in N ruotiamo il triangolo AGN di 180°. Ciò che otteniamo è mostrato nella parte destra della Fig. 2a.

Eseguiamo un'operazione simile con il triangolo arancione, come mostra la Fig. 2b.

Tagliamo lungo GL e ruotiamo di 180° il triangolo GCL fino a portarlo nella posizione mostrata nella parte destra della Fig. 2b.

Concludiamo con il triangolo rosso in Fig. 2c.

I tre triangolo colorati di partenza hanno cambiato forma, ma non area. Basta dare loro un'occhiata e si vede facilmente che essi sono anche congruenti. Attraverso il lato uguale e gli angoli si può dimostrare che sono effettivamente uguali. Possiamo, però, dimostrarlo, ponendoli con il baricentro G in comune, come mostra la Fig. 3.

Avendo ruotato i triangoli piccoli di 180°, i segmenti paralleli restano paralleli. Ne segue che la Fg. 3 ci mostra dei parallelogrammi (lati opposti paralleli) e, di conseguenza, i lati opposti sono uguali. Ricordando le uguaglianze tra gli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale è immediato dimostrare che i tre triangoli sono congruenti tra di loro.

Ma, se i triangoli sono congruenti, deve valere che:

l1 = 2l2

n1 = 2n2

m1 = 2m2

Che non è altri che il primo teorema.

Ogni triangolo colorato è inoltre formato da due triangoli più piccoli (quelli individuati tracciando le mediane). Essi, però, hanno a due a due la stessa base e la stessa altezza: l1 e BK, n1 e BH, m1 e AS, per cui hanno la stessa area che è uguale alla metà di quella dei triangoli colorati. Ma i triangoli colorati sono congruenti per cui le loro metà devono avere la stessa area. Ed è dimostrata anche la seconda proprietà.

Le dimostrazioni possono anche essere diverse e più "canoniche", ma questa è quella che, secondo me, gioca di più sulla fantasia e su una congruenza forse inaspettata.

Viva la geometria!