Categorie: Riflessioni
Tags: quadrato quiz regola riempimento con quadrati
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
La logica del quadrato **
Un quiz di pura logica applicato a una figura geometrica...
Consideriamo un quadrato di lato qualsiasi. Vogliamo riempirlo perfettamente con una serie di n quadrati di lato qualsiasi, sia uguali che diversi tra loro.
Si chiede:
Esiste una regola che ci permetta di stabilire immediatamente se per un certo n sia possibile ottenere quanto voluto ?
A titolo di esempio, la figura che segue mostra una possibile soluzione per n = 13
4 commenti
Un disegno fornisce tutti gli indizi...
caro Andy,
io pensavo a una strategia ancora più sintetica... ma forse diciamo la stessa cosa, traducendola in formula.
Il mio ragionamento è questo:
appare impossibile dividere un quadrato in 2 partizioni quadrate (come in figura precedente) ed altrettanto impossibile appare dividere il quadrato in 3 partizioni quadrate (2 partizioni + 1 che non può essere quadrata).
Analogamente non sembra possibile la suddivisione in 5 partizioni quadrate (2 + 3 e 4+1 partizioni non sono tutte quadrate per i motivi prima esposti).
Allora il numero minimo (relativo) di partizioni è 4: ma se dal quadrato quadri-partizionato elimino una qualsiasi partizioni e la sostituisco con 4 quadratini più piccoli otterrò, in termini di partizioni quadrate:
4 - 1 + 4 = 7.
Stesso discorso per il quadrato 7-partizionato: 7 - 1 + 4 = 10 ;
per il 10-partizionato: 10 - 1 + 4 = 13
e cosi via.
Come si può notare, le partizioni aumentano secondo una progressione aritmetica di passo 3;
allora partendo dal quadrato 4-partizionato, il numero di partizioni diventa:
4+ 3k , con k = 0, 1, 2, 3, ....n → 4, 7, 10, 13, 16, 19, ....
con il 6-partizionato: 6+ 3k = 6, 9, 12, 15, 18, 21, ....
con l' 8-partizionato: 8+ 3k = 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
Cioè con le partizioni originarie 4, 6, 8, che proseguono in progressione aritmetica, si ottengono tutti i numeri naturali meno il 2, il 3 e il 5.
Ho scritto prima 4 come minimo relativo di partizioni perché potrei considerare il caso del quadrato originario suddiviso in un'unica singola partizione:
in questo caso partizione e quadrato di partenza coincidono.
Come prevedevo stavamo dicendo la stessa cosa... Solo che io pensavo di mantenere fisso il 3 e variare il numero pari, sempre possibile. Ci risentiamo nella soluzione, sperando (inutilmente) che altri si associno.