Conosciamo molto bene come si calcola l'area di un triangolo: base per altezza diviso per due. E se il triangolo fosse rettangolo? Beh... le cose non cambierebbero, al limite potremmo dire che basta moltiplicare i due cateti tra loro e dividere il risultato per due.

Da quanto detto si evince che se l'unico termine noto del problema fosse un cateto, alla mia richiesta di calcolare l'area mi rispondereste: "Ci manca qualcosa... esistono infiniti triangoli rettangoli che hanno lo stesso cateto. E, quindi, esistono infiniti valori dell'area del triangolo".

E se vi dicessi che il cateto conosciuto è un numero primo e che gli altri due lati  devono essere interi positivi maggiori di zero ? Cambierebbe qualcosa?

Il nostro quiz si può, quindi, riassumere come segue:

Quante sono e come si possono esprimere le aree possibili di un triangolo, in funzione del cateto conosciuto?

SOLUZIONE

La risposta al quiz è SICURAMENTE SI, dato che per n primo, diverso da 2, esiste un solo triangolo rettangolo che ammette n come cateto.

Il nostro Andy ha risolto il problema utilizzando immediatamente una proprietà delle terne pitagoriche. Noi, però, vogliamo far finta di non conoscere questi speciali triangoli rettangoli e ricavare, comunque, la formula finale, attraverso tutti i passaggi logici.

Iniziamo col dire che

a > 0    intero

b > 0 intero

Il triangolo è rettangolo e l’ipotenusa è a. Per cui

a > b

essendo a e b interi, anche

a + b intero

a – b intero

Il teorema di Pitagora ci dice che:

a² = b² + n²

ossia:

a² – b² = n²

(a + b)(a – b) = n²                             .... (1)

Il che vuol dire che sia (a – b) che (a + b) sono DIVISORI di n². Ma n è un numero primo, per cui il suo quadrato può essere divisibile solo per n e per 1. L’uguaglianza precedente può essere soddisfatta solo in tre modi:

1 ∙ n² = n²            …. (2)

n ∙ n = n²               …. (3)

n² ∙ 1 = n²                  …. (4)

Tuttavia la (3) è da scartare dato che non può essere a = b = n, poiché a è l’ipotenusa e deve essere maggiore di b. E’ da scartare anche la (2), dato che dovrebbe essere b = n² > a.

Rimane possibile solo la (4)

n²· 1 = ( a + b) ( a – b) = n²

Possiamo scrivere:

a + b = n²

a – b = 1

Cambiamo il segno alla seconda

a + b = n²

- a + b = - 1

Sommiamo le due relazioni:

2b = n² – 1            …. (5)

b = (n² – 1)/2

L’area è quindi data da:

S = ½ b n

S = ¼ n (n² – 1)

Ne segue che dato n, numero primo, l’area è univocamente determinata.

c. v. d.

Il caso con n = 2 è da scartare, ricordando la (5), in quanto è l’unico caso che con n primo si ottiene 2b = n² – 1 dispari e, quindi, b deve essere frazionario.

Per n primo ≠ 2, n² è sempre un numero dispari, per cui 2b = n² – 1 è sempre pari e, quindi, divisibile per 2, ossia b è intero.

Ovviamente a è sempre intero dato che è uguale a b + 1, entrambi numeri interi.

Per n = 3, otteniamo la classica terna pitagorica (3, 4, 5), la cui area vale 6.

b = (9 – 1)/2 = 4

a = b + 1 = 5