Conosciamo bene (QUI e seguenti) il significato di integrale. Possiamo definirlo come l'operazione inversa della derivata, ma anche come l'area sottesa da una certa curva y= f(x).

L'integrale diventa perciò uno strumento utilissimo per il calcolo delle superfici piane. Diamo per acquisito  lo svolgimento di un integrale semplice, ricordando che la sua difficoltà risiede soprattutto nel tipo di funzione che vogliamo integrare.

Ma, se volessimo calcolare il volume al di sotto di una certa superficie z = f(x,y), cosa. potremmo fare?  Andiamo a dimostrare che è necessaria svolgere due volte l'operazione di integrazione, ossia eseguire l'integrale di un integrale. O, se preferite, calcolare l'integrale doppio della funzione z = f(x,y) a due variabili.

Cerchiamo di generalizzare al massimo il nostro problema e per far questo utilizziamo la Fig.1.

Cerchiamo il dominio

Per prima cosa dobbiamo definire la regione del piano (x,y), ossia il dominio, che viene assunta come base del nostro volume. Coloriamo in rosso e verde i suoi contorni. E' necessario conoscere l'equazione di questo dominio. Assumiamo, perciò, che esso sia rappresentato dalle funzioni x = g₁(y), contorno verde, e x = g₂(y), contorno rosso.

Anche l'equazione della superficie deve essere conosciuta ed è rappresentata in figura dalla parte azzurra.

z = f(x,y)

Tracciamo le rette parallele a z a partire dai contorni g₁(y) e g₂(y) fino a incontrare la superficie z = f(x,y). Otteniamo, così il volume che vogliamo calcolare che ha come faccia superiore la parte di f(x,y) colorata in azzurro.

Notiamo che il dominio nel piano x,y è contenuto nel rettangolo compreso da x = a e x=b, e y=c e y = d. Questi valori indicano i valori estremi in x e y che può assumere il nostro dominio nel piano (x,y).

Ovviamente, abbiamo assunto che tutte le funzioni che compaiono nel grafico siano continue e integrabili nel dominio scelto.

Strisce verticali

Passiamo alla Fig. 2.

Prendiamo il piano individuato da y = y_c = costante, perpendicolare al piano (x,y), che taglia il nostro volume secondo la superficie piana grigia.

Abbiamo di fronte qualcosa che ben conosciamo, ossia una certa superficie che sta sotto la funzione f(x,y_c). Quest'ultima è diventata una funzione della sola x, dato che y_c è una costante. Nessun problema, perciò, a calcolare il valore di quest'area. Tutto si riduce al calcolo dell'integrale di f(x,y_c). Quali sono, però, i limiti del nostro integrale? Non ci resta che considerare un rettangolino di base dx e altezza z = f(x,y_c) e integrarlo tra x₁ e x₂:

r(y_c) = ∫^x2_x1 f(x,y_c) dx

Questo integrale ci regala il valore dell'area cercata. la funzione r è diventata un "numero" che dipende solo e soltanto da yc. Ovviamente, per quanto detto precedentemente, al posto di x₁ e x₂ possiamo scrivere il valore corrispondente delle funzioni g₁ e g₂, calcolate in y_c, ossia:

r(y_c) = ∫^g2(yc)_g1(yc) f(x,y_c) dx

Il prossimo passo da fare è quello di lasciare libera di variare anche la y_c.

Gonfiamo le strisce

r(y) = ∫^g2(y)_g1(y) f(x,y) dx               .... (1)

Nessun problema, perciò, a integrare questa funzione di y tra i due valori estremi di y, ossia d e c:

∫^d_c r(y) dy                      .... (2)

Notiamo che il moltiplicare r(y) per dy non è altro che calcolare il volumetto marrone della Fig. 3.

Andando da c a d,  calcoliamo proprio il volume totale, relativo all'intero dominio considerato nel piano (x,y)

Tuttavia, al posto di r(y) della (2), possiamo inserire il valore ottenuto nella (1), ottenendo:

V = ∫^d_c (∫^g2(y)_g1(y) f(x,y) dx) dy

Questa relazione ci dice di calcolare PRIMA l'integrale entro parentesi (che è una funzione di y) e poi l'integrale tra c e d del risultato così ottenuto.

Possiamo anche eliminare le parentesi (ricordando, però, l'ordine di integrazione!) e scrivere:

V = ∫^d_c∫^g2(y)_g1(y) f(x,y) dx dy

oppure

V = ∫^d_c dy ∫^g2(y)_g1(y) f(x,y) dx                .... (3)

Attenzione! La (3)  NON ci dice di moltiplicare i due integrali, ma di integrare prima quello più a destra e poi calcolare l'integrale del risultato così ottenuto.

o, anche:

V = ∫∫_A f(x,y) dA

Questa scrittura ci dice che l'integrale doppio deve essere esteso a tutto il dominio A. Il prodotto dx dy non è altri che il rettangolino infinitesimo dA, per cui:

V = ∫∫_A f(x,y) dx dy

Sono tutte scritture equivalenti.

Invertiamo x con y (ruotiamo il dominio)

Nella parte precedente abbiamo tracciato, come prima cosa, le parallele all'asse x. Tuttavia la conoscenza delle funzioni di contorno al dominio e, a volte, la stessa forma della funzione z = f(x,y)  possono far preferire o imporre un procedimento inverso. In altre parole, possiamo prima tracciare le parallele all'asse y e poi arrivare all'integrale doppio. Per disegnare la figura in questo secondo caso, è inutile ruotare il dominio: è preferibile invertire y con x, come riportato in Fig. 4.

Le formule precedenti diventano:

u(x_c) = ∫^h2(xc)_h1(xc) f(x_c,y) dy

u(x) = ∫^h2(x)_h1(x) f(x,y) dy               .... (1a)

∫^b_a u(x) dx                                          .... (2a)

V = ∫^b_adx∫^h2(x)_h1(x) f(x,y) dy 

V = ∫^b_a∫^h2(x)_h1(x) f(x,y) dy dx 

V = ∫∫_A f(x,y) dA

N.B.: Nel caso che la funzione z sia una costante h, il tutto si semplifica ponendo solo h all'interno dell'integrale. Otteniamo una specie di cilindroide. Ovviamente, rendendo infinitesima la z, l'integrale doppio ci porta anche al calcolo della superficie del dominio, inteso come volume di altezza infinitesima. Ne segue che gli integrali doppi possono essere usati anche per le superfici piane. Tutto dipende dai casi che ci troviamo davanti.