Facciamo un esempio che non utilizzi le coordinate polari:  un ottimo esempio in cui il cambiamento di coordinate è veramente essenziale e deve essere descritto con una attenta riflessione e un pizzico di fantasia. Questo esercizio permette di introdurre una proprietà dello Jacobiano che può semplificare notevolmente i calcoli. Leggete, perciò, fino in fondo l'esercizio dato che questa parte importantissima sarà spiegata proprio alla fine.

Si voglia calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫_A √(x y) dx dy

in cui il dominio A sia delimitato da 4 funzioni . In particolare, sia compreso tra y² = 3x e y² = 6x e tra y =4/x e y = 6/x. Siamo di fronte a un dominio delimitato da due parabole e da due iperboli, come mostra la Fig. 1

Se non si volessero cambiare le coordinate dovremmo trovare le intersezioni tra le curve e poi spezzare l'integrale in almeno 4 parti... No, è meglio ragionarci sopra.

Se qualcuno volesse provare da solo, questo è il momento e l'esercizio vale almeno  3 asterischi.

Le nostre quattro funzioni nel piano x,y sono del tipo:

y² = k x

e

y = h/x

Perché non provare proprio a introdurre due coordinate u e v tali che prendano il posto di h e k?

In poche parole:

y² = u x

y = v/x

ossia:

u = y²/x

e

v = y x

Qual é il motivo di questa scelta? Abbastanza ovvio... le nuove coordinate assumono dei valori costanti ai bordi del nuovo dominio in u,v

Infatti, u può variare tra 3 e 6 e v tra 4 e 9. Ne segue che il nuovo dominio B è diventato un rettangolo, proprio ciò che rende il tutto decisamente più facile.

Possiamo quindi scrivere:

∫∫_B √(xy) du dv 

Dove al posto di x e y dobbiamo scrivere il loro valore nel nuovo dominio. Ma la funzione √(xy) è immediata da scrivere, dato che √(xy)  non è altri che √(v)

∫∫B √(v) du dv

Ovviamente, manca ancora qualcosa... lo Jacobiano J che deve moltiplicare du dv. L'integrale diventa:

∫∫B v |J|du dv = ∫₃⁶ du (∫₄⁹ |J|dv

Non ci resta che calcolare il determinante jacobiano e il più è fatto.

Ricordiamo che lo Jacobiano deve essere applicato alle funzioni x =  x(u,v) e y = y(u,v). Dobbiamo quindi manipolare un pochino le relazioni

La seconda ci dice che

x = v/y

inseriamola nella prima, ottenendo:

y² = u x = u v/y

y³ = u v

y = u^1/3v^1/3

di conseguenza

x = v/y = v/(u^1/3 v^1/3)

in conclusione

x = u^-1/3 v^2/3

Sì, lo ammetto, non sono relazioni banali, ma ciò che dobbiamo fare è solo calcolare le loro derivate parziali, ossia niente di preoccupante...

∂x/∂u = v^2/3 (-1/3) u^{(-1/3 - 1)} =  - (1/3)u^{- 4/3} v^2/3

∂x/∂v =  u ^-1/3 2/3 v^{(2/3 -1)} = 2/3 u^-1/3 v^-1/3

∂y/∂u = v^1/3 (1/3) u^{(1/3 - 1)} = 1/3 u^-2/3v^1/3

∂y/∂v = u^1/3 (1/3) v ^-2/3 = 1/3 u^1/3v^-2/3

Eseguiamo le moltiplicazioni incrociate

J = (∂x/∂u) (∂y/∂v) - (∂x/∂v)(∂y/∂u)

J =   (- (1/3)u^{- 4/3} v^2/3)(1/3 u^1/3v^-2/3) - (2/3 u^-1/3 v^-1/3)( 1/3 u^(-2/3)v^1/3)

J = - 1/9 u^-1v⁰ - 2/9 u^-1v⁰) = - 3/9 (1/u)

Ricordiamoci, però, che dobbiamo sempre prendere il valore assoluto dello Jacobiano, per cui:

|J| = 1/(3u)

A questo punto possiamo scrivere correttamente il nostro integrale:

∫∫B √(v) |J|du dv = ∫₃⁶ (1/u) du (∫₄⁹ √(v) dv

L'integrale più interno vale 2/3 v^3/2, da cui:

∫₃⁶ 1/(3u) du ∫₄⁹ √(v) dv = ∫₃⁶ (1/3)(1/u) du (2/3) [v^3/2]₄⁹=

= (1/3)∫₃⁶ (1/u) du (2/3)(27 - 8 ) = (2(27 -8)/9)∫₃⁶ (1/u) du =

L'ultimo sforzo è relativo all'integrale di 1/u che è ln(u)

 = (38/9)[ln (u)]₃⁶ = (38/9)(ln(6) - ln(3)

Ma sappiamo bene che la differenza di logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto, ossia:

∫₃⁶ (1/u) du (∫₄⁹ √(v) dv = (38/9)(ln(6/3) 

Infine:

∫∫_A √(x y) dx dy = 38 ln(2)/9

Abbiamo dovuto fare parecchi calcoli, relativamente banali, che potrebbero causare errori nel loro svolgimento (magari li ho fatti anch'io...). Si potrebbe semplificare qualcosa? La risposta è affermativa e riguarda lo Jacobiano.

Ribaltiamo lo Jacobiano

I calcoli che  sono stati più "pericolosi" riguardano, probabilmente, le derivate dello Jacobiano ossia le derivate parziali delle funzioni. Eh sì, sono un po' complicate. Sarebbe stato molto meglio se si fossero usate le derivate delle relazioni "inverse", ossia quelle che legano u e v alle x e y. Esse, infatti, sono:

u = y²/x

v = x y

Ebbene una proprietà dello Jacobiano ci dice (non lo dimostro perché, ricordiamoci, stiamo lavorando su argomenti di Analisi 2, esame universitario...) che lo Jacobiano delle funzioni inverse (e lo indichiamo con J^-1) è uguale al reciproco delle Jacobiano delle funzioni. In altre parole possiamo calcolarci le derivate di  u e v in funzione di x e y e poi scrivere che lo Jacobiano di cui abbiamo bisogno non è altri che il suo reciproco, ossia

J = 1/J^-1

Non ci credete? Ve lo dimostro subito...

J^-1 = (∂u/∂x) (∂v/∂y) - (∂u/∂y)(∂v/∂x)

Nel nostro caso

∂u/∂x = - y²/x²

∂u/∂y = 2y/x

∂v/∂x = y

∂v/∂y = x

J^-1 = - (y²/x²)x - (2y/x)y = - y²/x - 2y²/x = - 3y²/x

ma sappiamo che

y²/x = u

per cui

J^-1 = - 3u

esattamente il reciproco di J che è quindi proprio 1/(3u) come ricavato precedentemente.

Insomma, la matematica ne sa una più del diavolo.