Categorie: Matematica
Tags: geometria quarti di cerchio quiz variazione angolo
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:6
L'angolo segreto (con soluzione)**
Esercizio piuttosto facile che può risolversi "a mente". Lo trovo, comunque simpatico anche perché ricorda uno dei grandi problemi dell'antica Grecia. Un punto in più a chi lo riconosce...
Consideriamo due quarti di cerchio tangenti esternamente con raggi che stanno, tra di loro, nel rapporto k (k > o).
Tracciamo la congiungente P con O', la quale interseca il cerchio di sinistra nel punto S. Uniamo S con P'.
Si chiede:
Come varia l'angolo O'RP' in funzione di k ?
SOLUZIONE
Innanzitutto, volevo chiedere ai solutori i essere sempre molto didattici, senza saltare dei passaggi. Questi esercizi servono soprattutto ai meno esperti che hanno bisogno di seguire passo per passo le soluzioni.
La soluzione che propongo io è praticamente quella di sprmnt21...
Elaboro la figura originale in quella che segue
Ho completato il semicerchio PTP".
Ricordiamo che l'angolo alla circonferenza di un arco è la metà dell'angolo al centro. P"OT vale ovviamente 90° e, quindi, l'angolo P"ST vale 45°
P"ST = 45°
L'angolo P"SO' vale 90 °, dato che PSP" deve essere 90°, in quanto angolo alla circonferenza relativo a un diametro.
Posso scrivere:
TSO' = P"SO - P"ST
da cui:
TSO' = 90° - 45° = 45°
TO’ sottende due angoli uguali (TSO’ e TP’O’).
Ciò può capitare solo se S, P’, O’ e T stanno sulla stessa circonferenza (gli angoli alla circonferenza di uno stesso arco sono uguali). Il quadrilatero SP'O'T è, perciò, un quadrilatero ciclico. Deve, perciò valere che:
P’SO’ = P’TO’
Ma P'TO' è proprio 45°. Per cui:
P'SO' = 45°
L'angolo è quindi COSTANTE.
In pratica abbiamo trisecato l'angolo P"SP'. Non certo il metodo migliore per trisecare un angolo di 135°, ma sempre meglio che niente...
6 commenti
Ricorda il cerchio di Apollonio;
se così fosse, l'angolo dovrebbe rimanere costante al variare di k.
io pensavo ad altro... Comunque attendo una dimostrazione molto semplice...
puoi spiegare meglio perché BFC = DBG ? Facciamo tutti i passaggi, spiegandoli per bene...
DFBG è un quadrilatero inscritto nel cerchio di centro A. Gli angoli opposti sono supplementari in quanto rispettivamente metà degi corrispondenti angoli al centro che sommano 360°.
Poiche ∠DFB+∠BFC = 180°, in quanto adiacenti, segue la relazione ∠BFC = ∠DBC
Ho iniziato da questa costruzione:
Praticamente, il quadrato originario (linea tratteggiata rossa) che circoscrive il quarto di cerchio rosso di raggio C1C viene ruotato fino a fare coincidere il suo lato superiore con il segmento BC e poi fatto scivolare sino a quando il suo vertice in alto a sinistra coincide con il punto B. Così facendo, la sua diagonale giace sul prolungamento del segmento AC1, per cui l'angolo CBC1 è pari a 45°.
Stessa manovra col quadrato originario tratteggiato in blu che circoscrive il quarto di cerchio di raggio C2C', con la diagonale che giace sul prolungamento di AC2 e quindi anche l'angolo C'B'C2 sarà di 45°,
ovvero variando il rapporto tra il raggio OT e un raggio qualsiasi di una circonferenza tangente, il valore dell'angolo in questione rimane costante.