Categorie: Matematica
Tags: geometria quattro quarti di cerchio quiz teoremi poco conosciuti
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
(QI) Quattro strani "petali" ***
Questo quiz, che non ho voluto complicare ulteriormente, vuole servire a introdurre un paio di teoremi forse poco conosciuti. Attraverso di essi la soluzione è quasi immediata, ma esiste anche un modo alternativo per ottenere lo scopo finale.
Da un punto P qualsiasi, all’interno di un cerchio di centro O, tracciare due rette perpendicolari tra loro che tocchino la circonferenza in A, B, C e D. Siano noti
AP = a, BP = b, CP = c, DP = d.
Costruiamo la figura che segue in cui le quattro aree colorate siano quarti di cerchio.
Determinare il rapporto tra la somma delle quattro aree colorate e quella del cerchio iniziale.
7 commenti
La metà...
Un disegnino:
Bravo Andy! Un metodo ancora diverso dal mio...
Tuttavia, il tutto si ricollega a un teorema (o meglio formula) che permette di determinare il raggio del cerchio circoscritto a un quadrilatero ciclico, anche con diagonali non perpendicolari. C'è di mezzo un indiano... Parameshvara
L a dimostrazione non è nemmeno difficile...
Proviamo prima un risultato ai lati opposti di un "orto-quadrilatero" ciclico.
Facendo uso della prorieà che due corde parallele "intercettano" due corde uguali sulla circonferenza.
Infatti, figura sinistra, da ∠PQP' = ∠QP'Q', segue che sono uguali i due archi (PP' e (QQ' e quindi le due corde sottese.
Consideriamo ora il orto-quadrilatero P1Q1R1S1 e due suoi lati opposti, ad esempio, P1R1 e Q1S1 e il diametro Q1T1 per Q1.
Essendo ∠Q1P1T1 = 90, risulta che P1T1 //R1S1. Quindi, per quanto visto prima, S1T1 = R1P1.
Per Pitagora S1T12 +Q1S12 = diametro2
L’area di una foglia del quadrifoglio è proporzionale al quadrato della corda massima.
Ad esempio per la foglai verde, (pi*V1R1^2/2)/4.
Mettendo tutto insieme
quadrifoglio=pi(V1Q1^2+V1S1^2+V1P1^2+V1R1^2)/8
Ma la somma dei lati del l’orto-quadrilatero
2(V1Q1^2+V1S1^2+V1P1^2+V1R1^2) = (a^2+b^2+c^2+d^2) = 2*diametro^2
Pertanto,
quadrifoglio= pi*diametro^2/8 = pi*raggio^2/2 =semicerchio
Molto bene, molto bene... bravo sprmnt21
Scommetto che siete anche capacissimi di trovare la formula di Parameshvara...
Tu e Andy avete bisogno di esercizi molto più complicati!!!
Caro Enzo,
ho tentato di arrivare alla formula di Parameshvara utilizzando come fonti due articoli da te perfettamente descritti:
il teorema di Tolomeo sui quadrilateri ciclici, la formula di Brahmagupta per l'area degli stessi.
In calce ho invece messo la dimostrazione di come si ottiene il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi.
Dimostrazione raggio cerchio circoscritto: https://i.ibb.co/LgBV64C/raggio-cerchio-circoscritto.png